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convexité logarithme
bonjour à tous, étant dans les révisions de rentrée, je suis à la recherche d'un peu d'aide sur un exercice cornu.
1) Etudier la convexité sur ]0,+∞[ de la fonction xln(x).
2) En déduire : ∀a > 0 , ∀b > 0 , aln(a) + bln(b) ≥ (a + b)(ln( a + b)/2)
1) Je calcule la dérivée Première soit ln(x)+1 , puis la dérivée seconde : 1/x. J'en conclus que pour tout x de ]0,+∞[ , f''(x) 
0.
2) c'est la que ca coince : je résous l'équation en faisant tout passer d'un côté pour la supériorité de 0 mais il y'a marqué "en déduire" or je ne vois pas comment faire. Si quelqu'un pouvait me mettre sur une piste je lui en serais reconnaissant.
Merci d'avance !!
Il faut utiliser ce que l'on appelle l'inégalité de convexité qui dit que si f est convexe alors
pour tout t 
[0;1] et pour tout x et y de l'intervalle sur lequel f est convexe, on a :
f(tx+(1-t)y) 
tf(x)+(1-t)f(y) (graphiquement, les points qui sont sur le segment AB sont sous le point de la courbe d'abscisse tx+(1-t)y parce que la courbe est au dessus du segment)
Applique ça à la fonction f(x)=x ln x avec les points d'abscisse a et b et avec t=1/2 et tu vas tomber sur ton inégalité.
Tout d'abord merci de ta réponse !
Donc en suivant cette inégalité : avec a, b ]0,+∞[ et t=1/2 (je n'ai pas très bien compris pourquoi)
((1/2)a+(1/2)b)* ln((1/2)a + (1/2)b)(1/2)aln(a) + (1/2)bln(b)
on simplifie :
((a+b)/2)* ln ((a+b)/2) (a/2) * ln(a) + (b/2) * ln(b)
et la je sais pas si j'ai le droit de multiplier des 2 côtés par 2 pour tomber sur le résultat voulu.
ben oui évidemment que tu peux multiplier les deux cotés par 2, si A B alors 2A 2B
on prend t=1/2 dans cette formule générale (donc le point au milieu de AB) simplement parce que ça conduit à l'équation que l'on te demande de démontrer.
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