En fait c'est immédiat puisque :
Soit .
Le corps de rupture de ce polynôme est, par définition, une extension E de telle que :
. admet une racine a dans E
.

(ici )

C'est ok?
Par suite, on sait que .
Je ne vois pas comment poursuivre!

Attention  LE corps de rupture n'a de sens que pour un polynôme irréductible .
Est-ce que tu sais que ton polynôme cyclotomique et irréductible (ce qui est vrai)

exemple : P(X)= (X-2)(X^2+1)  qui n'est pas irréductible, l'extension engendrée sur les rationnels par  la racine 2 n'est pas la même que celle engendrée par la racine i .

J'ai un thm. dans mon cours qui me dit effectivement que le polynôme cyclotomique est irréductible dans et .

Pour un polynôme non irréductible on parle plutôt de corps de décomposition alors ?

oui pour le corps de décomposition il n'y a pas de problème d'unicité (enfin ça se démontre) parce qu'on mets TOUTES les racines.

Les corps de rupture et les corps de décomposition d'un polynôme sont unique ? à isomorphisme près ?

Oui :

le corps de rupture : 1 racine d'un irréductible, unique à isomorphisme près
le corps de décomposition :toutes les racines d'1 polynôme: unique à isoprès
la clôture algébrique: toutes les racines de tous les polynômes : uniq à iso

Merci pour cette piqure de rappel!
Par contre, comment trouver le degré de ?

c'est le degré de Phi_n(X)  qu'on note souvent  phi(n)= indicatrice d'euler = cardinal des racines primitives n-ième= nombre de générateur de Z/nZ,+ = cardinal de (Z/nZ)* .

ok.
Il y a donc autant de racines primitives n-ième de l'unité que d'inversible dans ?

Heu Z/nZ tu veux dire?
Ben oui et c'est évident puisque Z/nZ est (non canoniquement) isomorphe au groupe des racines n-ième de l'unité.

On avait noté ce groupe .
Quel isomorphisme y'a-t-il entre et ?

Celui qui a la classe de n associe ou zeta est une racine primitive de l'unité.

?

Pas necessairement (c'est pour ca que l'isomorphisme est non canonique) tu te donne une racine primitve n-ieme de l'unité et à la calsse de k dans Z/nZ tu lui associe . Attention dasn mon dernier message j'ai ete maladroit j'aurai pas du dire à n tu asssocie zeta^n puisque n était déjà utilisé dans Z/nZ. C'était bien k qu'il fallait mettre.

Cela dit l'application que tu définit donne un isomorphisme possible entre Z/nZ et Un, celui qui à la classe de k associe exp(2ikpi/n)

Donc on peut montrer que l'application :
est un morphisme d'anneau bijectif ?

De groupe...

ok ok !
Mais ensuite?

je ne vois pas le rapport!

Ben le rapport c'est qu'un générateur de (Z/nZ)* est premier avec n ce qui est aussi la définition d'une racine primitive de l'unité

Heu je voulais dire un élément de (Z/nZ)* et pas un générateur

Mais le truc c'est que .
Quel rapport avec l'isomorphisme ?

est le degré du polynome cylcotomique, c'est le nombre de racines primitives de l'unité...ok? donc le nombre de generateur de Un

est l'indicateur d'euler c'est le nombre de générateur de Z/nZ

Comme Z/nZ=Un ces deux GROUPES ot le même nombre de genrateurs donc

pour moi, .
je ne vois pas le lien entre le degré du polynôme cyclotomique et en fait.

Ben je viens de te le montrer si tu appelle le degré du polynoem cylcotomique et l'indicateur d'euler soit le cardinal de Z/nZ* (il n'y a pas de faute de frappe j'ai volontairement mis deux phi différents) j'ai montré dnas mon dernier message que

Heu le degré du polynome cyclotomique c'est

Ok je viens de comprendre, il faut cependant montrer l'isomorphisme en amont pour conclure ainsi?

OUi...mais l'isomorphisme est vraiment trivial à montrer...

On utilise les propriétés de l'exponentielle complexe ?

C'est ça...tu veux le rediger ou tu es convaincu?

Je pense que c'est bon!
La fonction est une bijection en fait ?

Oui...Tu est pret à faire l'autre sens?

dans l'autre topic? lol

Ah oui..lol

Bonjour Rodrigo,
j'ai reessayé de comprendre pourquoi où :
est le n-ième polynôme cyclotomoqie
est l'indicatrice d'Euler

J'ai donc noté :

Je montre que est isomorphe en tant que groupe à

On a et .
N'aurait-il pas fallut montrer que est isomorphe en tant que groupe à ?

(Z/nZ)* en tant que groupe n'est pas du tout iomorphe à Un, c'est Z/nZ qui est isomorphe à Un.
Et Un ce n'est pas ce que tu as marqué...car l'ensemble Un que tu as défini n'est pas un groupe...la condition (k,n)=1 est en trop...

Ok.
Donc on a bien :

.

.

.

Comment de l'isomorphisme entre et on déduit que ?

Non le degré du polynome cyclotomique n'est pas egal au cardinal de Un.. c'est égal aux nombre de générateurs de Un

non  les racines du polynôme cyclotomique sont avec  (k,n)=1 .
Cardina Un = n = card(Z/nZ) .

Je comprend plus rien!
Il me semblait bien pourtant que pour les racines primitives il y avait la condition d'être premier avec n ...

Il est vrai que le cardinal de est n (ça semble plus logique) mais comment trouver alors que le degré de ce polynôme cyclotomique est ??

Combien y a de racine primitives dans Un?

n ?

Ben non...il y en phi(n) ou phi(n) est le degré du polynome cyclotomique...toutes les racines n-ième ne sont pas primitives...

non mais c'est avec ou non ?

Non, je le répète Un c'est l'ensemble des racines n-ième de l'unité point.

1/ Si on prend alors ??

2/ Si on prend que vaut ??

3/ Bref c'est bien ??

Le 1) est faux relis ce qu'il y a plus haut si on prend Un comme dans le 1 (ce qui est la bonne définition) card Un=card Z/nZ=n

Le 2) bon passons sur le fait que ce ne soit pas la bonne défintion de Un le cardinal de cet ensemble est phi(n), le degré du polynome cyclotomique.

Le 3) est juste...d'ailleurs si tu crois ce que tu as ecrit au 3, comment peut tu dire au 1) que le card Un c'est celui de Z/nZ* puis que (Z/nZ)* et Z/nZ n'ont pas du tout le même cardinal.

Ok!

Donc on a :



c'est bien ça ?