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Corps des fractions
Bonjour,
Bonjour, j'aimerais poser une question sur le corps des fractions d'un anneau intègre.
On dispose d'un corps K, et d'une fonction f : K \ 0 → Z, telle que
a) f(x · y) = f(x) + f(y)
b) f(x + y) ≥ min(f(x), f(y))
On dispose du sous-anneau Rf de K défini comme l'ensemble Rf:={x ∈ K|f(x) ≥ 0} ∪ {0}.
On souhaite montrer que K est le corps des fractions de Rf. Pour cela je dis la chose suivante :
est un anneau intègre car c'est un sous-anneau de
. On remarque que pour
,
. Soit
et on considère
. Si
, cela signifie que
et on peut écrire
. Si
, alors
et on peut écrire
. On a montré que tout élément non nul
in
peut s'écrire comme
avec
.
J'ai l'impression que c'est un peu tordu/facile. De plus, nous avons défini dans mon cours le corps des fractions d'un anneau A à l'aide du produit A x A\0, où l'on dit que K est un corps des fractions si x dans K s'écrit comme couple (a,b) dans le produit cartésien. Dois-je démontrer dans l'exercice que K est isomorphe à ce corps là ? Il ne me semble pas avoir vu que si un corps F est isomorphe à un corps des fractions K d'un anneau A alors F est aussi un corps des fractions de A.
Bonjour Serbiwni,
pour l'assertion "Rf est un sous-anneau de K", il faudrait aussi vérifier que l'unité de K est dans Rf, mais tu as déjà fait le plus dur.
As-tu vu la proposition suivante dans ton cours :
Soit A un anneau intègre, et K son corps de fractions.
S'il existe un morphisme injectif f d'anneaux de A vers un corps L, alors il existe un unique morphisme injectif de K vers L qui étend f.
Si tu ne l'as pas vu, ça peut être pas mal de te le démontrer, car alors avec la forme unique de l'extension, ce que tu viens de montrer prouve bien que K est le corps de fractions de Rf.
Toutefois, ça dépend aussi de ton cours et des attentes de ton professeur, peut-être est-il suffisant de montrer que tout élément de K est bien une fraction d'éléments de Rf...
As-tu vu la proposition suivante dans ton cours :
Soit A un anneau intègre, et K son corps de fractions.
S'il existe un morphisme injectif f d'anneaux de A vers un corps L, alors il existe un unique morphisme injectif de K vers L qui étend f.
Merci pour la réponse. Je dispose effectivement de cette propriété mais je ne vois pas comment elle intervient ici.
Bonjour,
Ton explication est tarabiscotée. Plus simplement, le sous-anneau vérifie la propriété que pour tout
,
ou
(c'est ce qu'on appelle un anneau de valuation de
).
Par ailleurs, le corps de fractions de l'anneau intègre est défini à isomorphisme de
-algèbre unique près : ce qui compte, c'est sa propriété universelle énoncée par Rintaro. Et on identifie
à son image dans son corps de fractions : on considère bien
comme sous-anneau de
, n'est-ce pas ?
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