il s'agit d'avoir les vecteurs 1-z et 1-z^3 colinéaires, i.e. soit 1-z est nul et z=1, soit 1-z est non nul et 1-z^3= k.(1-z) avec k réel

Dans ce cas on remarque 1-z^3=(1-z)(1+z+z²) et donc on a nécessairement 1+z+z² réel, i.e. z+z²=z(1+z) réel. Si on note z* le conjugué de z, il est équivalent de demander z+z²=z*+z*², soit (z-z*)(1+z+z*)=0. C'est équivalent d'avoir soit z=z*, cad z réel, soit z+z*=-1, cad Re(z)=-1/2.

Conclusion: l'ensemble des solutions est R (iR-1/2)
(on n'a pas vérifié que toutes ces solutions fonctionnaient mais c évident)