Ben oui ce que tu écris est juste  alpha = classe de X convient pour ton exemple avec  F9 =F3(alpha)

c'est ce qu'on m'a dit...mais j'ai pas compris pourquoi...

tu peux m'expliquer?

Calcule P(x) ou x est la classe de X, par définition de Fp[X]/(P), tu as P(x)=0 donc x est racine de P...

oui je vois que la classe de X est celle de 0 dans tel qu'il est défini mais je vois pas en quoi ca me permet de dire que c'est le que je cherche...

Non pas du tout la classe de X n'est pas celle de O mais la classe de P(X) est nulle. Si tu veux dans Fp[X]/(P), tu as cl(P(X))=P(cl(X)), ton alpha c'est donc la classe de X. Tu considres Fp[cl(X)] dans Fp[X]/(P)

De manière plus visuelle. Si tu plonges tes corps Fp^r dans une cloture algébrique F. Alors Si tu te donnes P un polynome irreductible de Fp[X] et a une racine de P dans F. Tu as un ismorphisme (de Fp algèbres) canonique entre Fp[X]/(P) et Fp[a] qui est donné par cl(X)->a.
Fp[a] est un corps de degré sur Fp égal au degré de P noté ici r, c'est donc Fp^r.

D'ailleurs la manière la plus canonique de définir les Fp^r sont comme les racines de X^(p^r)-X dans une cloture algébrique de Fp.

  

ok.... je crois que je commence a comprendre... mais ca reste encore tres obscur ^^;

peux tu détailler la différence entre et s'il te plait?

en fait mon probleme c'est que je n'arrive pas a relier ces notions à celles que je connais déja... et c'est tres perturbant ><

Je viens de réaliser qqch, est ce que par hasard, ?

et est-ce que la définition que j'ai donnée plus haut de est bien correcte? (le plus petit corps contenant a la fois F et (F est un corps) )


merci de ton aide!

F[a]  est bien le plus petit anneau contenant  F  et a, F(a) est le plus petit corps contenant  F  et  a .

Il est alors clair que F[a] est inclu dans F(a) et qu'il y a égalité SSi F[a] est un corps c'est à dire SSi  a  possède un inverse dans F[a].

De plus F[a] = { P(a) /  P  appartient à  F[X] }

si  P0 est un polynôme de degré  d annulant a avec  d  minimal alors par division euclidienne  P(X)= Q(X)P0(X) + R(X)  où  degré(R) < d
d'où  P(a) = 0 + R(a)  et donc
F[a] = { T(a) /  degré T < d } = le F- espace vectoriel engendré par 1, a..,a^(d-1)  (par minimalité du polynome minimal).

En particulier si  F = Fq  , F[a] possède  q fois q fois...fois q = q^d éléments (q choix pour chaque coordonnée dans la base)

merci ^^

c'est deja beaucoup plus clair!!

tout ne l'est pas encore mais de nuit noire où j'avancais a taton, je passe a une journée avec un fort brouillard : je vois quand meme mes pieds ^^
je vais essayer de comprendre et si vraiment je n'y arrive pas je reposterai, meme si ca ne sera peut-etre pas tout de suite pour cause de partiels.

en tout cas merci pour vos explications ^^

Bonjour

Pour compléter la réponse de lolo217.

En effet F[a] est le plus petit anneau qui contient a et on a bien
F[a] = { T(a) / degré T < d } = le F- espace vectoriel engendré par 1, a..,a^(d-1) (par minimalité du polynome minimal).

Mais... Il se trouve que cet anneau est un corps! Donc dans ce cas, F(a)=F[a]. En effet, en écrivant Bézout pour les polynômes T et P₀, on voit immédiatement que T(a) est inversible dans F[a] (s'il est non nul).

Voici deux autres exemples: [2]=(2)={a+b2| (a,b)^2}.

Mais, [](). Vois-tu pourquoi?

Une autre facon de prouver que F[a] est un corps si a est algébrique est de remarquer que toute algèbre intègre de dimension finie est un corps.
Ce qui est assez remarquable (et plus profond) c'est que la réciproque est vraie (Une k algèbre de type finie est un corps ssi elle est finie), c'est le Nullstellensatz de Hilbert.

lolo > l'inverse de Pi existe dans Q(Pi) mais pas dans Q[Pi] c'est bien ca?

oui , disons qu'avec  Q(X)  (fractions rationnelles ) et Q[X]  c'est direct (et n'utilise pas la transcendance de  PI)