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Corps Résiduel d'un corps ultramétrique
Bonjour,
fixons quelques notations:
- K est un corps ultramétrique muni de la valeur absolue |.|.
- O l'anneau des élément de K de valeur absolue inférieur ou égale à 1.
- P l'idéal des élement de O de valeur strictement inférieure à 1.
- O/P est alors le corps résiduel de K.
je cherche à montrer que si O/P est fini alors |K*| est un sous-group discret de R*.
J'ai cherché sur des cours en ligne, la plupart des auteurs travaillent avec la valuation., ils affirment alors que v(K*)=sZ avec s la plus petite valeur que prend la valution strictement positive.
J'ai donc essayer d'apapter ce resultat pour la valeur absolu et j'ai donc pris le sup des valeurs que prend la valeur absolue stricement inférieur à 1. Et j'essaye de montrer que |K*|=s^Z (je ne sais pas si la notation est bonne, peut être vaut-il mieux noter |K*|=<s>).
Mon premier problème est de montrer que s est strictement inférieur à 1, je me doute qu'il faut utiliser que O/P est fini mais je n'arrive pas à faire le lien.
Si vous l'avez déjà fait, ou si vous voyez mon soucis je suis preneur 
Bonjour,
Si tu prends le log de ta valeur absolu tu obtiens un valuation (sauf erreur?) et donc tu peux poursuivre comme eux ?
oui exactement
Par contre mon problème est le même, je ne comprend pas pourquoi il existe un s tel que s est la plus petite valeur que prend la valution strictement positive.
Bonjour
J'ai des doutes... J'ai trouvé un théorème qui dit:
Soit K un corps valué complet. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) K est localement compact
(ii) Le groupe de valuation est discret et le corps résiduel fini.
Vu l'énoncé de (ii) je doute que l'on puisse déduire l'un de l'autre...
Bien vu Camélia, prendre le corps des fractions de O = l'anneau des séries en pour TOUT entier e>0 et à coefficients dans un corps fini k . Alors O/P = k , mais le groupe des valuations est Q .
Bonsoir,
C'est en effet faux... meme si l'on suppose que le corps est complet.
Ce qui ont un groupe de valuation discret et un corps résiduel fini sont appeles les corps locaux, ce sont exactement les corps de nombres p-adiques (les exentensions finies de Q_p) et les coprs de fonction (les extensions finie de F_p((t))))
En dehors de cela... Ben la valuation ne sera pas discrete... (par exemple prend le complete de la cloture radicielle de F_p((t)) il est complet de corps résiduel fini et la valuation va dans Q tout entier.)
Hum, en fait je me demande si vous n'avez pas oublié une hypothése, dans mon énoncé on suppose que le corps est ultra-métrique.
Ben je ne sais pas, la proposition de Camélia, suppose que le corps est valué...
Sa veut dire quoi pour vous, corps valué?
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