Bonsoir j'aimerai avoir la correction de cette exercice car mon professeur l'avait donné mais j'ai oublié de lui demandé ...
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
Soit f la fonction définie sur \small \mathbb{R} par f(x) = \displaystyle \frac{3exp^{\frac{x}{4}}}{2 + exp^{\frac{x}{4}}}.
a) Démontrer que f(x) = \frac{3}{1 + 2exp^{-\frac{x}{4}}}.
b) Etudier les limites de la fonction f en +\small \infty et en -\small \infty.
c) Etudier les variations de la fonction f.

Partie B
1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0; +\small \infty[ dans \mathbb{R}. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0; +\small \infty[, de l'équation différentielle (E1) y' = \frac{y}{4}.
   a) Résoudre l'équation différentielle (E1).
   b) Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire g(0) = 1.
   c) Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

2. En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :
\hspace{50pt} (E_2) : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u'(t) & \frac{u(t)}{4} - \frac{u(t)^2}{12} \hspace{10pt} \text{pour tout nombre reel t positif ou nul,} \\ u(0) & 1 \\ \end{array} \right.
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
   a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0; +\small \infty[, la fonction h définie par h = \frac{1}{u}. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions
\hspace{50pt} (E_3) : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} h'(t) & -\frac14 h(t) + \frac{1}{12} \hspace{10pt} \text{pour tout nombre reel t positif ou nul,} \\ h(0) & 1 \\ \end{array} \right.
où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.
   b) Donner les solutions de l'équation dofférentielle \small y' = -\frac14 y + \frac{1}{12} et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
   c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorque t tend vers +\small \infty ?

Merci d'avance