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Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S

Posté par
Luc1144
20-02-19 à 11:55

l'équation de la hauteur h par rapport au sol d'un fil électrique suspendu entre deux poteaux s'obtient en résolvant l'équation différentielle
h''(x)=k racine(1+(h'(x)))² ou k est un paramètre qui dépend  de la densité et de la tension du fil et x est mesuré en mètre horizontalement à partir  d'une origine située sur le sol  en-dessous du point  ou la hauteur du fil est la plus faible.
1. verifiez que h:x  → (1/k)ch(kx) est solution de cette équation différentielle.
2.quelle est la hauteur minimale du fil si le paramètre k vaut 0.05?
3.quelle est la hauteur des poteaux (de même hauteur) s'ils sont distants de 30 m  et que le paramètre k vaut 0.05?

Voici le problème que je suis amené à résoudre dans mon dm mais le problème c'est que je n'y arrive pas... Pouvez vous m'éclairer merci

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:03

Bonjour,
Si tu ne sais pas dériver ch et sh directement, utilise leur définition.

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:09

Je sais que la dérivée de sh c'est ch et inversement

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:16

Mais après que faire

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:16

Tu peux donc calculer h''(x) et h'(x) puis vérifier que la fonction proposée est bien solution de l'équation différentielle

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:17

Très bien j'y court j'aurais dû y penser merci !

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:22

h'(x) = k sh(kx) (1/k) = sh( kx)

h''(x) = k ch(kx)

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:26

Oui

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 12:40

Et à partir de cela comment j'en déduis que h est solution cette équation différentielle ?

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 13:16

?

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 13:25

En vérifiant que h''(x)=k racine(1+(h'(x)))²

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 13:33

Donc: h''(x) = k √(1+(h'(x))^2) Cela est la bonne formule, je me suis tromper dans l'énoncé,  le carré est pour le h'(x)

h''(x) = k √(1+(h'(x))^2)
            = k √(1+sh(kx)^2)
            = k + ksh(kx)
heuu je pense qu'il y a un problème non ? Décidément...

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 14:04

1+sh²x=ch²x

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 14:19

Mais biensur !

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 14:23

Pour la 2 on cherche alors h tel que k= 0.05

Donc tel que : h''(x) = 0.05ch(0.05x)

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 15:04

?

Posté par
larrech
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 15:16

Bonjour,

Non, on cherche le minimum de h : x\mapsto  \dfrac{ch(0,05x)}{0,05}

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:03

Donc je prend la dérivée première et j'en déduis un tableau de variation qui me permettra de trouver un minimum ?

Posté par
larrech
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:11

Si tu n'as pas étudié en classe la fonction cosinus hyperbolique, c'est ce qu'il faut faire. Sinon, on se raccroche aux résultats du cours.

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:20

je sais que ch est décroissante sur (-infini 0) et croissante sur (0 +inifini)

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:23

Elle présente donc un minimum en ???

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:24

En 0

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:26

Conclusion?

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:28

Si k = 0.05, la hauteur minimale du câble est de 0 m

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:29

Car pour x= 0, h=0

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:30

Non. ch(0)0

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:32

1 pardon

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:33

Non. h(x)=\dfrac{ch(0.05x)}{0.05}

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:39

20

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:43

Oui. Il ne manque plus que l'unité. Et la phrase qui constituera la réponse.

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:50

Très bien merci pour tout ! Aller plus qu'une ! Avec un bon raisonnement cest tout de suite plus simple !
Pour la 3)  j'ai fait:  (((e^(0.05*30))+e^(-0.05*30))/2)/0.05

Ce qui me donne 47m environ, c'est bon ?

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 16:57

Si les poteaux sont distants de 30 mètres (l'un de l'autre), comme le point bas est à l'abscisse 0, il y a un poteau à l'abscisse -15 m et l'autre à +15 m.
La hauteur du poteau est donc dr h(15) ( ou h(-15) pour le fun)

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 17:01

okayyy ji avait pas pensééééééééé

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 17:02

D'où l'intérêt de faire un dessin...
Et ça donne une hauteur de poteau plus raisonnable.

Posté par
Luc1144
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 17:22

Merci pour tout en tout cas !

Posté par
sanantonio312
re : Cosinus hyperbolique fonction exponentielle terminale S 20-02-19 à 17:25

De rien. A la prochaine



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