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Courbe fermée contenue dans un disque
Bonjour,
Étant donné une courbe fermée contenue dans un disque de rayon R.
Montrer qu'il existe tel que sa courbure soit plus grande que 1/R.
Mon idée :
Supposons que tout les points de la courbe admettent une courbure plus petite que 1/R.
Le plus petit cercle osculateur à la courbe contenu dans la zone délimitée par gamma est d'un rayon plus grand que celui du disque, donc contradiction car la courbe ne peut pas être contenue dans le disque de rayon R.
Problème : comment prouver que ce plus petit cercle existe ? Et même, est-on sûr qu'il existe ?
Je précise que la courbe n'est pas nécessairement simple et que c'est juste une piste que j'ai trouvé, si quelqu'un a une autre idée qu'il le dise. Merci.
Ah !
Mais dire qu'une "courbe" est une "courbe tout ce qu'il y a de plus régulière " ne définit pas l'objet "courbe" .
https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe
Ainsi une courbe plane peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre (équation paramétrique)
Je ne vois pas ce que tu veux que je précise de plus.
Pour moi , une courbe fermée de 
² est , avant tout , une application d'un intervalle [a , b] ( où a 
b ) dans ² .
salut
en master on se doit effectivement d'être plus précis et rigoureux ...
on peut inscrire strictement un carré (courbe fermée) dans un disque ... et le rayon de courbure n'existe pas ou est infini ...
D'après mon cours, une courbe plane est la donnée d'une application continue. J'ai précisé cela dans mon second post en rajoutant qu'elle est régulière (car on a travaillé que sur des courbes régulières durant tout le semestre donc j'imagine que c'est sur ce type de courbes que le prof voulait que l'on travaille en nous posant cet énoncé).
Alors svp si vous avez des idées de résolutions faites-en part ou bien posez moi la bonne définition mais inutile de me faire tourner en bourrique pour rien...
A partir d'une paramétrisation, après faut prendre le déterminant de la dérivée première et seconde et diviser par la norme de la dérivée au cube.
Puisque ma courbe est régulière y a pas de pb à cette définition.
D'ailleurs on peut aussi supposer que l'on la paramètre par longueurs d'arcs pour se simplifier la vie.
Bon, puisque t'as l'air de vouloir que je pose les quantités....
est le support de la courbe régulière de paramétrisation par longueur d'arc
² avec I un intervalle de .
Bonsoir !
Tu as parlé plusieurs fois de "régulière".
Pour moi un "arc régulier" est un arc sans points stationnaires. Cela ne suffit pas pour définir la courbure à moins qu'on ait changé les définitions !
S'il te plaît, définition de ce que tu appelles "régulière".
Ce que tu proposes dans le dernier message ne définit pas une courbe fermée !
Le paramétrage vérifie ta condition et la courbure est constamment nulle...
Les paramétrisations étaient toutes de classe C infini. Désolé c'était un peu évident pour moi car on a parlé de ça durant tout le semestre (d'où l'énoncé concis d'ailleurs) à du coup j'ai tendance à aller un peu vite sur ces histoires.
J'ai oublié de préciser que si , on a
avec un raccordement C infini.
Bonjour !
Sans avoir de solution je suggère :
Il vaut mieux prendre un arc bi-régulier car des rayons de courbure infinis ne sont pas faciles à manipuler. Pour un tel arc, grâce au théorème du relèvement, on peut paramétrer avec l'angle polaire de la tangente orientée.
Si désigne ce paramètre on a les formules classiques :
désignant le rayon de courbure.
Par translation, homothétie on peut supposer que le disque contenant l'arc est le disque unité. Le problème se ramène donc au suivant :
Si de classe
avec
et
peut-avoir
?
Pour le moment je cherche autour de
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