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Niveau Maths sup
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courbe paramétrée

Posté par rust (invité) 27-10-05 à 20:57

bonsoir,

je dois faire l'étude d'une courbe paramétrée avec:
3$x(t)=\frac{t^2+9}{t^2+1} et 3$y(t)=\frac{t(t^2+9)}{t^2+1}

Pour x(t) je n'ai pas de problème, je trouve décroissant sur [0;+\infty[ ( j'ai reduit l"etude sur [0;+\infty[ par symétrie de l'axe des abscisses, mais est-ce bon ?)

Par conte, y(t) me pose problème. Je trouve 3$y'(t)=\frac{t^4-6t^2+9}{(t^2+1)^2} et je n'arrive pas a en faire le signe.

Merci de vote aide

Posté par rust (invité)re : courbe paramétrée 27-10-05 à 21:03

ah, en fait je trouve qu'elle est croissante sur [0;+\infty[ et qu'il y a une tangente horizontale est sqrt{3}, c'est bien ca ?

Posté par
lyonnais
re : courbe paramétrée 27-10-05 à 21:10

Voici la courbe :

courbe paramétrée

Posté par
lyonnais
re : courbe paramétrée 27-10-05 à 21:31

Dans un repère orthonormé ça donne plutôt ça :

courbe paramétrée

Posté par rust (invité)re : courbe paramétrée 27-10-05 à 23:58

merci,

en fait j'ai deja tracé la courbe, je sais donc que y(t) est croissante.

Mon problème est que je n'arrive pas à le prouver.

en fait je sais que 3$y'(t)=\frac{t^4-6t^2+9}{(t^2+1)^2}.
Je pose 3$T=t^2 donc ca devient:

\frac{T^2-6T+9}{(T+1)^2} donc y' est du signe de T^2-6T+9

Je trouve T=3 donc 3$t=sqrt{3} ou 3$t=-sqrt{3}

Mais mon problème est que je ne vois pas pourquoi a partir de ca on peut dire que y' est positif sur [0:+\infty[

C'est surement tout bête, mais là j'avoue que je bloque.
Sinon j'ai reussi a faire une grande partie du reste de l'exo (il me reste la fin que je n'ai pas encore regardé)

Posté par
lyonnais
re : courbe paramétrée 28-10-05 à 00:22

ok désolé ...

je me trompe peut-être, mais :

3$ \frac{T^2-6T+9}{(T+1)^2}=\frac{(T-3)^2}{(T+1)^2}=\frac{(t^2-3)^2}{(t^2+1)^2}

Et voila, t'as fini puisque tu es en présence de 2 carrés strictement positifs

La dérivée s'annulle pour t = \pm \sqrt{3}

romain

Posté par rust (invité)re : courbe paramétrée 28-10-05 à 12:56

ah c'est parfait, je n'avais pas tilté sur l'identité remarquable.

merci

Posté par
lyonnais
re : courbe paramétrée 28-10-05 à 12:59

de rien

A+ sur l'
romain

Posté par rust (invité)re : courbe paramétrée 01-11-05 à 19:50

bonsoir,

me revoilà avec la suite du problème sur lequel je bloque.

On considère trois points de paramètres t1 , t2 , t3.

En remarquant que trois tels points ne peuvent etre alignés sur une droite verticale, établir l'equivamence des trois conditions suivantes:
-les trois points M(t1) ,M(t2), , M(t3) sont alignés
-il existe (m,h)\in\mathbb{R^2} tel que \forall i=1,2,3 : y(ti)=mx(ti)+h
-il existe (m,h)\in\mathbb{R^2} tel que \forall i=1,2,3 : ti^3-(m+h)ti²+9ti-(9m+h)=0

Pour ca, j'ai reussi (encore que, faut-il montrer que les trois points ne peuvent etre alignés sur une droite verticale ?)

Le porblème est la questin suivante:

Etablir que cette dernière condition équiavaut aussi à l'existence d'un couple (m,h) tel que :
(X-t1)(X-t2)(X-t3)=X^3-(m+h)X²+9X+(9m+h)

En déduire a quelle condition qur t1, t2 , t3 lespoints M(t1), M(t2), M(t3)

J'avoue que je ne vois pas a quoi correspond X ni même comment en arriver a ce resultat.

Merci de votre aide

Posté par rust (invité)re : courbe paramétrée 02-11-05 à 21:16

personne ne peut m'aider ?



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