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Courbe paramétrée et equation de tangente

Posté par
aspic1 30-10-07 à 22:41

Bonjour,

J'ai étudié une courbe paramétrée.
x(t) = (1/2)(t² - 2t)
y(t) = (1/3)t^3 - (1/2)t²

On me demande maintenant de trouver l'équation de la tangente en un point M(t0) appartenant à la courbe pour tout M(t0) appartenant à R. (le cas du point singulier est à traiter a part).

La tangente en un point singulier c'est pas une droite verticale ?

Sinon, pour les autres points, l'équation de la tangente en M(T0) ce n'est pas, pour tout point N(x,y) appartenant à la courbe : det(MN, ...) = 0

Enfin, je suis un peu perdu... si vous pouviez m'aider   

Posté par
donaldosre : Courbe paramétrée et equation de tangente 30-10-07 à 23:13

Un vecteur directeur de la tangente en un point M_0=M(t_0) est donné en dérivant x(t) et y(t). Si N(u,v) est un point de la tangente alors en effet :
\left. \frac{{\rm d}\vec{OM}}{{\rm d} t}\right|_{t_0} et \vec{M_0 N} sont collinéaires et

\left|\begin{array}{ccc} x'(t_0) & &x(t_0)-u\\ y'(t_0) & &y(t_0)-v \end{array}\right|=0

Tu en déduis l'équation recherchée sous la forme classique v=au+b.

Si tu veux éventuellementcomparer ta réponse, il me semble que : v=t_0u + \frac{t_0^2} 2 (sans garantie...)

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 31-10-07 à 11:59

Salut, j'ai compris la technique mais je ne suis pas d'accord sur les coordonnées de M0N ...

Les coordonnées du vecteur AB c'est pas xb - xa ?

Quelqu'un pourrait me confirmer ou infirmer le résultat ?

Merci à tous

Posté par
donaldosre : Courbe paramétrée et equation de tangente 31-10-07 à 12:30

Tu as raison, j'ai inversé les deux.

Mais ça n'a évidemment aucune importance pour ce calcul particulier...

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 31-10-07 à 13:29

Dans ce cas la je ne trouve pas le meme resultat que toi...

Je trouve :

v = (-1/6)*(t^2-6*t-6*u)*t

...

Posté par
donaldosre : Courbe paramétrée et equation de tangente 31-10-07 à 15:18

ce qui donnerait v=ut+t^2-\frac{t^3} 6.

Après calcul, je pense (avec certitude cette fois en fait) que la solution est en fait :


v=ut+\frac{t^2} 2+\frac{t^3} 6.


Sur l'image  tu peux voir (ou distinguer étant donné la qualité...) ta courbe paramétrée (en noir, t \in [-3;4]) ainsi que la tangente au niveau du point singulier (t=1) ainsi qu'une autre tangente prise au hasard (t=-2) et tracée à partir de l'équation ci-dessus.

Courbe paramétrée et equation de tangente

Posté par
donaldosre : Courbe paramétrée et equation de tangente 31-10-07 à 15:22

correction : v=ut+\frac{t^2} 2 -\frac{t^3} 6

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 31-10-07 à 21:45

Ouf c'est bon j'ai trouvé comme toi !

Ensuite,

On considère M(t) et M1(t1) tels que les tangentes en M et M1 soit perpendiculaires.

(a) : Monter que t1.t + 1 = 0

Déjà je comprends pas pourquoi y'a un produit scalaire avec des réels !?!?

Je suis parti sur le fait que le produit scalaire des deux vecteurs vitesses doit etre nul mais je ne trouve pas l'équalité ci dessus...

Merci

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 01-11-07 à 23:19

Je suis toujours coincé... snif

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 03-11-07 à 13:12

up please

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 05-11-07 à 19:19

Peut-on m'expliquer ce "point" dans la question ? "(a) : Monter que t1.t + 1 = 0"

Je suis toujours dans le noir...

Posté par
aspic1re : Courbe paramétrée et equation de tangente 06-11-07 à 19:01

up :)


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