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Niveau Maths sup
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Courbe paramétrée: représentation graphique

Posté par
matix
20-05-06 à 13:19

Bonjour,

Cela fait 2 jours que je suis sur le graphe de la courbe paramétrée selon:

x(t)=\frac{t^3}{t-1}
y(t)=\frac{t^2-2t}{t-1}

Je ne parviens pas à obtenir la "bonne courbe" que le prof m'a montrée, à savoir celle en pièce jointe.

Je m'explique.
A partir de l'étude des différentes branches paraboliques et autres tangentes et asymptotes, je trouve déjà qu'il faut tracer l'asymptote oblique d'équation y=-x+3. Elle n'est pas tracée sur le graphe joint, mais on la devine aisément.
La partie du graphe que je ne parviens pas à comprendre est située de +\infty à 0 pour les x et de -\infty à 0 pour les y (sur la partie positive de l'axe des abscisses, la courbe en prolongement de celle à gauche des abscisses ... je suis clair? >> partie etourée en bleu!)
Ainsi donc, je ne comprends pas pourquoi cette portion de graphe, à partir de mon tableau de variations, est dirigée comme cela, et ne suis pas plutôt l'asymptote oblique y=-x+3, et ne couperait donc pas l'autre partie du graphe!

Pouvez-vous m'expliquer?
Merci d'avance.

Courbe paramétrée: représentation graphique

Posté par
patrice rabiller
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 14:01

Bonjour matix

La courbe que ton prof a donnée est la bonne.

L'asymptote oblique d'équation y=-x+3 correspond aux 2 branches infinies lorsque t1-, (au nord ouest) et lorsque t1+ (au sud est).

Lorsque t- et lorsque t+, la courbe présente une branche parabolique d'axe Ox : il suffit de regarder la limite du rapport y/x qui tend vers 0 lorsque t tend vers .

Voilà, j'espère que ça va t'aider.

Posté par
matix
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 14:15

Merci de votre réponse
Malheureusement, je ne comprends pas davantage. Je suis tout à fait d'accord avec tout ce que vous me dîtes, je l'avais trouvé auparavant; cependant, je ne vois en quoi cela répond à ma question concernant la direction que prend la courbe au niveau entouré en bleu: Pourquoi ce ce côté elle ne tend pas vers l'asymptote alors qu'à gauche elle le fait?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 14:38

Bonjour matix

La différence fondamentale est que dans le premier cas, il s'agit bel et bien d'une asymptote, alors que dans le deuxième cas, c'est une branche parabolique de direction Ox (comme l'a dit patrice rabiller) et là justement, la courbe s'éloigne de l'axe.

Kaiser

Posté par
matix
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 14:41

Ok kaiser! Alors, je ne sais pas si patrice rabiller l'a indiqué, ou alors je n'ai pas saisi, mais pourquoi dans le premier cas c'est bien une asymptote et pas dans l'autre?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 14:47

Pour qu'il y ait asymptote, il faut le rapport \Large{\frac{y(t)}{x(t)}} tende vers une limite finie que l'on note m et \Large{y(t)-mx(t)} tende vers une limite finie p auquel cas la droite d'équation y=mx+p est asymptote à la courbe.

Dans le deuxième cas le rapport \Large{\frac{y(t)}{x(t)}} tend vers 0 mais y(t) tend vers \Large{-\infty} ce qui signifie que |x(t)| croit plus vite que |y(t)|, d'où l'allure de la courbe.

Posté par
matix
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 15:07

Je vais reprendre tout cela doucement ... Mais pouvez-vous m'indiquer clairement et concrètement comment on doit représenter une branche parabolique?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 15:11

C'est exactement ce qu'il y a sur ton dessin (ce qui est entouré en bleu).

Posté par
matix
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 15:19

C'est à dire que pour une branche parabolique de direction \vec{Ox} par exemple, la courbe doit s'éloigner de \vec{Ox}?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Courbe paramétrée: représentation graphique 20-05-06 à 15:22

C'est ça ! Un peu, comme les courbes représentatives des fonction ln et racine carrée.



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