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Courbe paramétrées point double
Bonjour,
On considère la courbe plane paramétré C(a,b) par x(t)=t^3-at et y(t)=t^2-bt
1. Trouver tous les couples a,b tels que C(a,b) possède un point double.
Donc je pars de mon système : x(u) = x(t), y(u)=y(t) et t différent de u.
La dessus j'arrive à a=t^2+ut+u^2, b=t+u et u différent de t,
soit encore que a=b^2-ut,
mais je n'arrive pas à conclure pour caractériser tous les couples.
Merci de votre aide et bonne journée 
paramétrée sans s, autant pour moi
bonjour
x=t(t²-a)
y=t(t-b)
t=0 =>x=y=0 O point de C
y=0 => t=b et b²-a=0 => a=b² donc C(b²;b) passe par O pour t=b
Ce n'est pas une "vraie" démo, mais un axe de recherche à "rigouriser"
Philoux
Bonjour floflochess,
C(a,b) : x(t)=t^3-at et y(t)=t²-bt
y(t)=t²-bt est une parabole donc il peut y avoir 2 valeurs de t donnant le même y => pas de contrainte sur b.
x(t)=t^3-at => x'(t)=3t²-a qui changera de signe si a>0 donc, déjà, on sait que a sera positif.
Point double => il existe t et T tel que, t /= T, et x(t)=x(T) et y(t)=y(T)
x(t)=t^3-at =x(T)=T^3-aT => t^3-T^3-at+aT=0 => (t-T)(t²+tT+T²)-a(t-T)=0 => (t-T)(t²+tT+T²-a)=0
y(t)=t²-bt =y(T)=T²-bT => t²-T²-bt+bT=0 => (t-T)(t+T)-b(t-T)=0 => (t-T)(t+T-b)=0
comme t /= T
t+T=b
t²+tT+T²-a=0 => t²+2tT+T²-tT-a=0 => (t+T)²-tT-a=0 => b²-a-tT=0 => b²-a-t(b-t)=0 => t²-bt+b²-a=0
Calculons alors Delta = b²-4(b²-a) = 4a-3b²
Pour avoir des valeurs de t, il faut que Delta >=0 => a >= 3b²/4
En PJ, sont données les représentations pour b=+2 et b=-2 et les différentes valeurs de a choisies pour obtenir, ou non, des points doubles; on a bien :
Points doubles => b quelconque et a>=3b²/4
Vérifie...
Philoux
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