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Courbes à sous-tangente constante
Bonsoir, voici l'exercice qui m'est donné :
Le problème: Existe-t-il une fonction f strictement positive et dérivable sur R dont la courbe représentative Cf possède la propriété suivante :
Pour tout point M de Cf, si P est le point d'intersection de la tangente (non horizontale) en M avec l'axe des abscisses et H le projeté orthogonal de M sur cet axe, alors la distance PH est égale à 1. Le segment [PH] est appelé sous-tangente à la courbe.
1. a désigne l'abscisse du point M. Ecrire l'équation de la tangente T en M à la courbe C
2. On suppose f'(a)
0, montrer que l'abscisse de P est égale à xp=a-.
3.Démontrer que la fonction f cherchée vérifie la condition
4. Déterminer deux équations différentielles différentes que 'l'on précisera, dont f est une solution.
5. Déterminer une expression possible de la fonction f puis conclure sur le problème initial
J'ai fait l'exercice jusqu'à la question 2, la 3 et la 5 je ne comprend vraiment pas (j'ai qlqs pistes pour la 4)
Je dois le finir pour jeudi, après ce sera trop tard, merci d'avance 
Bonsoir,
3) est acquis.
Que vaut ?
Les deux points et
sont sur l'axe des abscisses.
Comment traduire ?
Bonsoir,
H étant le projeté orthogonal de M, son abscisse est la même que celle de M, soit a.
L'abscisse de P est xp= a-f(a)/f'(a)
La distance PH est donc |a-xp| = |a-a+f(a)/f'(a)| = |f(a)/f'(a)|
On a PH = 1 donc |f(a)/f'(a)| = 1 donc f(a)/f'(a) = +1 ou -1
D'où les deux équations différentielles que je te laisse écrire et résoudre.
Huuuum je pense avoir compris pour la 3, merci !
Pour la 4, j'ai trouvé que :
f'(a)-f(a)=1 <=> f'(a)=f(a)+1 => f(x)=Kexp(x)-1
f'(a)-f(a)=-1<=> f'(a)=f(a)-1 => f(x)=Kexp(x)+1
Cependant, je ne sais pas comment conclure sur le problème... Je suppose que pour la question 5 la fonction retenue est la 2nde mais je ne suis pas sûr :/
Bonsoir,
Une petite erreur :
f'(a)-f(a)=1 <=> f'(a)=f(a)+1 => f(x)=Kexp(x)-1
f'(a)-f(a)=-1<=> f'(a)=f(a)-1 => f(x)=Kexp(x)+1
donne plutôt :
Pour la suite :
Cependant, je ne sais pas comment conclure sur le problème...
Toutes les fonctions que tu vas trouver conviennent !
Oh oupsi, oui en effet hahaha (la fatigue commence à se faire sentir)
Donc pour conclure je dis juste qu'il existe bel et bien une fonction strictement positive et dérivable sur R tlq Cf admet une sous-tangente (??)
Avec f(x)=Kexp(x) ou f(x)=Kexp(-x) avec K E R et K>0
Oh mais peut être négatif : pourquoi s'en priver ?
Un exemple avec la fonction (le point M est en position quelconque sur la courbe) :
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