Niveau Maths sup

Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes

Posté par
sebmusik 15-11-06 à 18:35

Bonjour,
Je fais appel à vous mathîliens car je suis bloqué sur mon devoir de mathématiques, j'aimerais donc fortement que vous m'aidiez merci.

Le plan P est rapporté à un repere orthonormal direct $R$ =(O,i,j), R et r designent deux reels strictement positifs.
Soit le cercle de centre O et de rayon R et A le point d'affixe R.
On se propose d'étudier la trajectoire d'un point mobile M lié a un cercle-mobile C de rayon r qui roule sans glisser sur le cercle fixe .
Soit I le point de contact entre le cercle fixe et le cercle roulant C, on choisit comme parametre un reel t qui soit une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{OA},\vec{OI})$ .
On suppose qu'a la date t=0, la position du point-mobile M a pour affixe R.

Equations

1) Determiner l'affixe du point centre du cercle C de rayon r exterieurement tangent à au point I.

2) Soit t' une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{\Omega I},\vec{\Omega M})$ . On suppose que t et t' verifient les deux conditions: $0\le t\le 2\pi$ et $0\le t'\le 2\pi$ . Determiner une relation simple entre t et t' qui traduit le fait que le cercle C roule sans glisser sur le cercle .

3) La relation precedente determine t' en fonction de t, on etend cette relation a un reel quelconque t, elle determine alors la position du point-mobile M a une date t quelconque. On considere la courbe paramétrée definie par la fonction $F :\mathbb{R}->P$ qui a tout reel t associe le point M. Calculer en fonction de t, R et r l'affixe z du point M.(formule 1)

4) On reprend les questions 1), 2), 3) en supposant cette fois-ci que le cercle C est interieurement tangent à (On pourra distinguer deux cas de figure suivant que r est inferieur ou superieur à R). Calculer en fonction de t, R et r l'affixe z du point M.(formule 2)

5) Montrer que les formules 1 et 2 peuvent s'ecrire chacune sous la forme suivante:
$z=Re^{it}(1+m-me^{it/m})$ . On precisera m en fonction de r et R suivant les deux cas.

Construction

Dans cette partie, m designe un nombre reel fixé non nul. On etudie la courbe parametree $(C_m,F_m)$ où $F_m$ est la fonction qui a tout reel t associe le point M d'affixe $Re^{it}(1+m-me^{it/m})$ relative au repere $R$ .

6) Montrer que, suivant les valeurs du reel m, la trajectoire $C_m$ de la courbe parametree est ou bien entierement incluse dans le disque limité par ou bien entierement a l'exterieur de ce meme disque, on precisera suivant les valeurs de m.

7) Demontrer que l'ensemble de la trajectoire de $C_m$ se deduit geometriquement de l'arc de la courbe parametree correspondant à l'intervalle $[0,\pi|m|]$ .

8) Demontrer que le vecteur $\vec{IM}$ est orthogonal à la tangente à la trajectoire au point M.

9) Demontrer que, pour tout reel m verifiant m0 et m-1, les courbes $C_m$ et $C_{-1-m}$ sont egales.

10) Dessiner les courbes pour les valeurs suivantes de m : -1/2 , -1/3 , -1/4 , 1/4 , 1/2 , 1

Mes resultats

1) $O\Omega=R+r$ donc a pour affixe $((R+r)cost + i(R+r)sint)$ soit $[R+r)e^{it}$

2) longueur arc(AI)=Rt et longueur arc(IM)=rt' or longueur arc(AI)= longueur arc(IM) puisque le cercle C roule sur le cercle fixe donc Rt=rt' ou encore t'=Rt/r

3) t'=Rt/r, t un reel quelconque
M(z) mais comment trouver z en fonction de t,R et r?

Seb

Posté par re : Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes 10-08-10 à 11:25

Un vieux topic...

1)
Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes

$\fbox{z_{\Omega}=(R+r)e^{it}}$

2) $\stackrel{\frown}{IM}=\stackrel{\frown}{AI}$

$rt'=Rt$ d' où $\fbox{t'=\frac{R}{r}t}$

3) $\vec{OM}=\vec{O\Omega}+\vec{\Omega M}$ avec $z_{\vec{\Omega M}}=re^{i(\vec{OA},\vec{\Omega M})}$

$(\vec{OA},\vec{\Omega M})=(\vec{OA},\vec{OI})+(\vec{OI},\vec{\Omega M})=(\vec{OA},\vec{OI})+(\vec{\Omega I},\vec{\Omega M})+\pi\;\;[2\pi]$

$(\vec{OA},\vec{\Omega M})=t+t'+\pi=\left(1+\frac{R}{r}\right)t+\pi\;\;[2\pi]$

d' où, avec $z(t)$ l' affixe de $M$ :

$\fbox{z(t)=(R+r)e^{it}-re^{i\left(1+\frac{R}{r}\right)t}}$ (1)

4) Un nouveau cas de figure avec $C$ tangent intérieurement à $\Gamma$ et $r<R$ :

Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes

On a maintenant: $\fbox{z_{\Omega}=(R-r)e^{it}}$

$\stackrel{\frown}{IM}=-\stackrel{\frown}{AI}$

$rt'=-Rt$ d' où $\fbox{t'=-\frac{R}{r}t}$

et $(\vec{OA},\vec{\Omega M})=(\vec{OA},\vec{OI})+(\vec{OI},\vec{\Omega M})\;\;[2\pi]$

$(\vec{OA},\vec{\Omega M})=t+t'=\left(1-\frac{R}{r}\right)t\;\;[2\pi]$

et $z(t)=(R-r)e^{it}+re^{i\left(1-\frac{R}{r}\right)t}$

Un nouveau cas de figure avec $C$ tangent intérieurement à $\Gamma$ et $r>R$ :

Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes

On a maintenant $z_{\Omega}=(r-R)e^{i(t+\pi)}$

soit: $\fbox{z_{\Omega} =(R-r)e^{it}}$

$\stackrel{\frown}{IM}=-\stackrel{\frown}{AI}$

$rt'=-Rt$ d' où $\fbox{t'=-\frac{R}{r}t}$

et $(\vec{OA},\vec{\Omega M})=(\vec{OA},\vec{OI})+(\vec{OI},\vec{\Omega M})\;\;[2\pi]$

$(\vec{OA},\vec{\Omega M})=t+t'=\left(1-\frac{R}{r}\right)t\;\;[2\pi]$

et $z(t)=(R-r)e^{it}+re^{i\left(1-\frac{R}{r}\right)t}$

Donc dans le cas où le cercle $C$ est tangent intérieurement à $\Gamma$ , on a:

$\fbox{z(t)=(R-r)e^{it}+re^{i\left(1-\frac{R}{r}\right)t}}$ (2)

5) a) Cercle $C$ tangent extérieurement à $\Gamma$ :

$z(t)=Re^{it}\left(1+\frac{r}{R}-\frac{r}{R}e^{i\frac{Rt}{r}}\right)$

En posant $m=\frac{r}{R}$ , on obtient:

$z(t)=Re^{it}\left(1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right)$

b) Cercle $C$ tangent intérieurement à $\Gamma$ :

$z(t)=Re^{it}\left(1-\frac{r}{R}+\frac{r}{R}e^{-i\frac{Rt}{r}}\right)$

et en posant $m=-\frac{r}{R}$ , on obtient:

$z(t)=Re^{it}\left(1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right)$

Donc avec la convention $m>0$ si $C$ est tangent extérieurement à $\Gamma$ et $m<0$ si $C$ est tangent intérieurement à $\Gamma$ , on obtient en posant $|m|=\frac{r}{R}$ :

$\fbox{z(t)=Re^{it}\left(1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right)}$

6) Supposons $m>0$ (cercle $C$ tangent extérieurement à $\Gamma$ )

$\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\geq |1+m|-|m|$

$\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\geq 1+m-m$

$\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\geq 1$

donc $\fbox {|z(t)|\geq R}$ et $M$ est toujours à l' extérieur de $\Gamma$

Supposons $m<0$ (cercle $C$ tangent intérieurement à $\Gamma$ )

$\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\leq |1+m|+|-m|$

$\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\leq |1+m|-m$

- Si $m\leq -1$ , on a $\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\leq -2m-1\leq 1$

- Si $-1\leq m <0$ , on a: $\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\leq m+1-m$ soit $\left|1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right|\leq 1$

donc $\fbox {|z(t)|\leq R}$ et $M$ est toujours à l' intérieur de $\Gamma$

7) $z(t+2|m|\pi)=Re^{i(t+2|m|\pi)}\left(1+m-me^{i\frac{t+2|m|\pi}{m}}\right)$

$z(t+2|m|\pi)=e^{2i|m|\pi}Re^{it}\left(1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right)$

$\fbox{z(t+2|m|\pi)=e^{2i|m|\pi}z(t)}$

Ainsi, $M(t+2|m|\pi)$ est l' image de $M(t)$ dans la rotation $r$ de centre $O$ et d' angle $2|m|\pi$

On se limite donc à une étude sur $[0,2|m|\pi]$ suivie de rotations $r$ .

$\left|z(t+|m|\pi)\right|=R\left|1+m+me^{it}\right|$

$\left|z(-t+|m|\pi)\right|=R\left|1+m+me^{-it}\right|=R\left|\overline{1+m+me^{it}}\right|$

donc $\fbox{\left|z(-t+|m|\pi)\right|=\left|z(t+|m|\pi)\right|}$

et sur l' intervalle $[0,2|m|\pi]$ , la courbe présente une symétrie par rapport à la droite d' équation $\theta =|m|\pi$

D' où étude sur $[0,|m|\pi]$ suivie d' une symétrie par rapport à la droite d' équation $\theta =|m|\pi$ et de rotations $r(O,2|m|\pi)$

8) $z_{\vec{IM}}=Rme^{it}\left(1-e^{i\frac{t}{m}}\right)$

$z'(t)=R\left[ie^{it}\left(1+m-me^{i\frac{t}{m}}\right)-ie^{it}e^{i\frac{t}{m}}\right]$

$z'(t)=iR(m+1)e^{it}\left(1-e^{i\frac{t}{m}}\right)$

On a donc:

$z_{\vec{IM}}\overline{z'(t)}+\overline{z_{\vec{IM}}}z'(t)=-iR^2m(m+1)\left(1-e^{i\frac{t}{m}}\right)\left(1-e^{-i\frac{t}{m}}\right)+iR^2m(m+1)\left(1-e^{-i\frac{t}{m}}\right)\left(1-e^{i\frac{t}{m}}\right)$

$\fbox{z_{\vec{IM}}\overline{z'(t)}+\overline{z_{\vec{IM}}}z'(t)=0}$

Donc $\vec{IM}$ est orthogonal à la tangente à la trajectoire en $M$ .

9) $z_{-1-m}(t)=Re^{it}\left[1-1-m+(m+1)e^{-i\frac{t}{m+1}}\right]$

$z_{-1-m}(t)=Re^{it\left(1-\frac{1}{m+1}\right)}\left[m+1-me^{i\frac{t}{m+1}}\right]$

$z_{-1-m}(t)=Re^{i\frac{mt}{m+1}}\left(1+m-me^{i\frac{t}{m+1}}\right)$

d' où:

$\fbox{z_{-1-m}\left(\frac{m+1}{m}t\right)=z(t)}$

Donc pour $m\not=0$ et $m\not=-1$ , les courbes $C_{-1-m}$ et $C_m$ sont identiques.

Posté par re : Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes 10-08-10 à 11:27

10)

Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes

Posté par re : Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes 10-08-10 à 11:28

Courbes paramétrées, Epicycloïdes et Hypocycloïdes

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