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[Courbes paramétrées] L'astroïde.
Bonjour !
J'ai un petit souci dans mon exo sur l'astroïde. Voici l'énoncé :
t étant un paramètre réel strictement positif, on donne la paramétrisation :
x(t) = cos3(t)
y(t) = sin3(t)
Soit M le point de paramètre t de cette courbe, T la tangente en M, P et Q les points d'intersection de cette tangente avec les axes de coordonnées.
1. Ecrire une équation de T.
2. Calculer les coordonnées des points P et Q.
3. Démontrer que la distance PQ est indépendante de t.
Je galère déjà à la première question. J'ai trouvé le coefficient directeur de cette tangente (= y'(t)/x'(t)) ; ainsi j'obtiens y = - sin(t)/cos(t) + b. Mais comment déterminer l'ordonnée à l'origine b ?
Merci d'avance pour toute aide !
PS : en pièce jointe se trouve le graphe de l'astroïde.
![[Courbes paramétrées] L\'astroïde.](img/forum_img/0378/forum_378025_1.jpg)
Bonjour Iris, entre fleurs... on s'aide!
D'abord attention ce que tu as posté est la courbe paramétrée et NON le graphe (qui lui est quelque part dans R^3)
1. Tu veux écrire l'équation d'une droite dont tu connais le coefficient directeur et qui passe par le point (x(t);y(t)). Donc tu trouves ton b...
Tout d'abord merci de ton aide Camélia - oui, j'adore les noms de fleurs ! 
Quelle est la différence entre une courbe paramétrée et un graphe ? Et pourquoi ce dernier se situerait-il dans R3 ?
En ce qui concerne la question 1, oui à la base je pensais faire comme ça mais comme x(t) et y(t) sont variables ça me gênait...
L'équation de la tangente serait donc : y = - [sin(t)/cos(t)]x + y(t) + [sin(t)/cos(t)]x(t) = - [sin(t)/cos(t)]x + sin3(t) + sin(t)cos2(t) ?
Mais comment distinguer les x et y de l'équation de la tangente avec x(t), y(t) de la courbe paramétrée ? Ce ne sont pas les mêmes n'est-ce pas ?
Un graphe est un ensemble de points de la forme (t;f(t)). Comme ici f(t) est dans le graphe est dans
. La courbe est juste l'image de R par la fonction f(t)=(x(t),y(t)). Je pinaille, mais c'est quand même important...
Alors revenons à la tangente. D'abord je ne suis pas d'accord avec ton coefficient directeur...
Ensuite, le principe est bon... L'équation est bien de la forme
Ce qui me chagrine est le fait qu'on divise par des trucs qui peuvent s'annuler... Alors tu n'aurais pas dans ton cours une équation de la tangente sous la forme ax+by+c=0?
D'accord, mais le coefficient directeur est de la forme y'(t)/x'(t) et non - y'(t)/x'(t)... non ?
Pour ce qui est de ax + by + c = 0, si bien sûr on a vu que c'était l'équation cartésienne d'une droite. Cependant on n'a jamais écrit des équations de tangente sous cette forme ! Mais cela reviendrait au même, et c'est vrai que c'est plus rigoureux de faire comme tu as dit.
tu as raison sur le coefficient... c'est un +
Pour les dénominateurs, vu les questions suivantes il est clair que les 4 points sur k'axe posent des problèmes sérieux. Donc pour la rédaction, je commencerais par dire que je me situe dans un cas ou ni le sin ni le cos ne sont nuls, et je ferais ensuite comme toi!
Très bien, merci beaucoup ! Entre temps j'ai réussi à faire les deux autres questions, donc c'était surtout la première qui me bloquait.
J'ai juste besoin d'un dernier conseil : pour bien distinguer x et x(t) ainsi que y et y(t) (confirmation que ce ne sont pas les mêmes ?), ne ferais-je pas mieux dans l'équation de ma tangente d'écrire Y = aX + b ?
Que me conseillerais-tu ?
Bien sur ce ne sont pas les mêmes... Je te fais remarquer qu'à la fin il n'y a plus que des x,y et t... Mais si tu es plus à l'aise rien ne s'oppose à ce que tu mettes des majuscules!
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