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Coût total, coût marginal et coût moyen

Posté par
Saraahhd 10-05-13 à 18:18

L'entreprise "Les Moulins d'Alphonse" produit de la farine en quantité
q comprise entre 0 et 10 tonnes.

Le coût total de production C T(q) , exprimé en milliers
d'euros, est donné par la formule: CT(q) =1/3q³ - 3q² + 10q + 36 .

Le coût marginal Cm est assimilé à la dérivée du coût
total.

Le coût moyen M est déini par : CM(q) = CT(q)/q sur ]0;10[



1-ETUDE DU COUT MARGINAL

a. Exprimer le coût marginal Cm(q) en fonction de q .
b. Étudier les variations de la fonction coût marginale Cm sur l'intervalle [ 0 ; 10 ] .
c. Quel est le signe de Cm(q) sur [ 0 ; 10 ] ? Interpréter.

2-ETUDE DU COUT MOYEN

a. Exprimer le coût moyen CM(q) en fonction de q .
b. Calculer C'M, dérivée du cout moyen. À l'aide du ligiciel XCAS, verifier le résultat obtenue (doc a mettre dans DS)
c. Montrer que C'M(q)= (1/3q-2)(2q²+3q+18)/q²
d. Etudier le signe C'M(q) avec un tableau de signe sur ]0;10]
e. En déduire les variations de la fonction CM sur ]0;10] et donner son tableau de variations.
f. Pour quelle quantité q0 le coût moyen est-il minimum ?
g. Quelle est la valeur du coût marginal lorsque q= q0 ?

3-ETUDE GRAPHIQUE A L'AIDE DE GEOGEBRA

...

Mon avancée:

1-a) ou je trouve Cm(q) = q²-6q+10

b)En dérivant, Cm=2q-6
J'ai trouvé que sur [0;3[ Cm est décroissant
sur ]3;10] Cm est croissante
en q=3, Cm=0.

c)j'utilise le second degré pour trouver le signe de Cm, je trouve que la fonction est tj positive car a est sup à 0 et delta est inf à 0

Je ne sais pas si c'est bon, et je n'arrive pas la suite

Posté par
Saraahhdre : Coût total, coût marginal et coût moyen 10-05-13 à 19:12

Pour le 2 j'ai
a. CM(q)= (1/3q^3-3q²+10q+36)/q

b.j'utilise l'expression f=u/v alors on a f'=(u'v-uv')/q²
  et je trouve CM'(q) = (2/3q^3-3q²-36)/q²
  Je n'ai pas vérifier sur XCAS

Posté par
Boltzmann_Solverre : Coût total, coût marginal et coût moyen 10-05-13 à 23:50

Bonsoir,

Tu aurais eu plus de chance si tu avais dit bonjour...
Sinon, je l'ai déjà corrigé en partie.

http://terre.de.physique.free.fr/spip.php?page=article&id_article=125

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 12:09

Bonjour

C_T(q) =\dfrac{1}{3}q^3 - 3q^2 + 10q + 36
coût marginal

c_m(q)=q^2-6q+10

sens de variation [0~;~3[ strictement décroissante  ]3~;~10]  strictement croissante

c_m(3)=3^2-6\times 3+10=1


côut moyen

C_M(q) =\dfrac{1}{3}q^2-3q+10+\dfrac{36}{q}

C'_M(q)=\dfrac{2}{3}q-3-\dfrac{36}{q^2}=\dfrac{2q^3-9q^2-108}{3q^2}=\dfrac{(q-6)(2q^2+3q+18)}{3q^2}

signe de C'_M(q) signe de q-6 car 2q^2+3q+18>0 pour tout q

C_M strictement décroissante sur ]0~;~6[ strictement croissante  sur ]6~;~10]

q_0=6

Posté par
Saraahhdre : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 22:10

Bonjour (bonsoir) ,
Merci pour vos réponses mais je ne comprend pas ce que je dois faire pour étudier le signe de CM'  

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 22:19

on vous indique un tableau de signe mais il ne  sert strictement à rien

on étudie le signe de  2q^2+3q+18  calcul de \Delta négatif donc signe de 2 toujours positif 3q^2 toujours positif

donc le signe  de  C_M'(q) est celui de  q-6 il ne reste que celui-ci à étudier

enfin si vous voulez  faire  un tableau avec 2 lignes qui ne  servent à rien car positif partout \dots  !

Posté par
Saraahhdre : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 22:51

ah oui merci beaucoup! Et donc pour quelle quantité q0 le coût moyen est-il minimum ? C'est lorsque l'entreprise produit 6tonnes de farines?

Mais la valeur du coût marginal lorsque q= q0 c'est également 6?

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 23:04

6 est la quantité qu'il faut produire pour que le coût moyen soit minimal

pour cette valeur le coût moyen est

C_M(6) =\dfrac{1}{3}\times 6^2-3\times 6 +10+\dfrac{36}{6}=12-18+10+6=10

et le coût marginal

C_m(6)=6^2-6\times 6+10=10

lorsque  le coût moyen est minimal il est égal au coût marginal

Posté par
Saraahhdre : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 23:20

D'accord, merci beaucoup !

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 11-05-13 à 23:24

de rien

Posté par
Cislare : Coût total, coût marginal et coût moyen 16-05-13 à 07:17

Bonjour !

J'ai le même exercice à faire ...
Cependant, je n'ai pas compris pourquoi 2/q - 3 - 36/q2 = 2q3 - 9q2 - 108 / 3q2

Merci !

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 16-05-13 à 11:06

Bonjour
tout simplement  réduction au même dénominateur 3q^2


C'_M(q)=\dfrac{2q}{3}-3-\dfrac{36}{q^2}= \dfrac{2q^3}{3q^2}-\dfrac{3\times 3q^2}{3q^2}-\dfrac{36\times 3}{3\times q^2}=\dfrac{2q^3-9q^2-108}{3q^2}=\dfrac{(q-6)(2q^2+3q+18)}{3q^2}

la factorisation vient de la réponse à la question 2c

Posté par
moulokre : Coût total, coût marginal et coût moyen 26-04-15 à 16:27

bonjour! helka, je ne comprends pas comment avez ous fait pour trouver les variations dans la question 1b??

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 26-04-15 à 17:08

Bonjour

C_T(q) =\dfrac{1}{3}q^3 - 3q^2 + 10q + 36

coût marginal : dérivée du coût total

c_m(q)=q^2-6q+10

étude du sens de variation classique

dérivée c'm(q)=2q-6 \qquad 2q-6> 0 \iff x>3 par conséquent

sens de variation [0~;~3[ strictement décroissante  ]3~;~10]  strictement croissante

Posté par
tv276re : Coût total, coût marginal et coût moyen 08-05-15 à 17:04

Bonjour hekla,
Pour la question 1-c) je ne comprends pas comment interpréter le fait que Cm soit toujours positif?

Posté par
heklare : Coût total, coût marginal et coût moyen 08-05-15 à 17:25

Bonjour

si vous produisez une unité de plus, vous aurez le coût de fabrication de cette unité en plus,  par conséquent le coût marginal est positif


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