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Critère divisibilité par 11 ?

Posté par
jojo130194 29-10-10 à 22:11

Hey', c'est encore moi !

Bon cette fois, pour cette exercice, je pense avoir le début
Mais je sais pas trop comment finir =/

Exercice 3 :

1. Montrez que, pour tout entier naturel n, 10^{n} \equiv (-1)^{n} (11)
2. Utilisez le résultat précédent pour montrer que l'entier naturel N = \bar {r_{n}r_{n-1}...r_{2}r_{1}r_{0}} écrit en base 10 est divisible par 11 si et seulement si (-1)^{n}r_{n} + (-1)^{n-1}r_{n-1} + ... + r_{2} - r_{1} + r_{0} est multiple de 11, autrement dit, montrez qu'un entier naturel est divisible par 11 si la somme "alternée" de ses chiffres ( en base 10 ) est multiple de 11.
3. Vérifier avec ce critère si le nombre 245443145678910111213141516171819202122232425 est divisible par 11.
Quelle condition doit vérifier un nombre de n chiffres identiques pour que ce nombre soit divisible par 11 ?

Alors déja, pour le 1, 10 \equiv (-1) (11), donc 10^{n} \equiv (-1)^{n} (11)

Ensuite, pour le 2... Plus compliqué...
Donc, en base 10, N s'écrit 10^0 r_0 + 10^1 r_1 + 10^2 r_2 + ... + 10^{n-1}r_{n-1} + 10^n r_n.
Or, 10^{n} \equiv (-1)^{n} (11), donc a_{n}10^{n} \equiv a_{n}(-1)^{n} (11)
Voila, et ensuite, je suis un peu coincé...
Je pense que l'on peut dire que a_{n}10^{n} \equiv (-1)^{n} (11), mais je ne suis pas sûr, et même avec ça, je ne vois pas trop quoi faire ensuite

Merci à tous, bonne soirée

Posté par
LeHiboure : Critère divisibilité par 11 ? 29-10-10 à 22:51

Bonjour,

Tu es presque arrivé, il faut conclure :
rnrn-1...r0 [11] = (-1)nrn + (-1)n-1rn-1 +... - r1 + r0 [11]
et l'expression de droite est précisément la somme alternée des chiffres de rnrn-1...r0

3)Tu restes le critère avec le nombre 245443145678910111213141516171819202122232425 en calculant 5-2+4-2....
Et tu regardes ce qui se passe lorsque tous les ri sont égaux, tu peux alors les mettre en facteur et il te reste une somme alternée de +1 et de -1 qui ne peut prendre que deux valeurs, 0 et 1

Posté par
jojo130194re : Critère divisibilité par 11 ? 29-10-10 à 23:05

Merci beaucoup, mais je ne comprends pas votre phrase de conclusion ?
Bon, déja, les r correspondent à mes a, il me semble.

Mais comment passer de a_n 10^n \equiv (-1)^n (11) à votre phrase de conclusion ?

Posté par
lolo271re : Critère divisibilité par 11 ? 29-10-10 à 23:19

Bonsoir ,

Voir que si  un nombre a des chiffres disons   \overline{abc} = 100 a + 10 b + c   etc  tu additiones tes congruences

Posté par
bertrore : Critère divisibilité par 11 ? 29-10-10 à 23:37

on sait que 10(-1)[11]10[/sup]n(-1)[sup]n[11].

Posté par
jojo130194re : Critère divisibilité par 11 ? 30-10-10 à 01:17

Excusez-moi, mais je ne comprends vraiment pas =/

Quelles congruences faut-il additionner ?

Posté par
AOIre : Critère divisibilité par 11 ? 30-10-10 à 01:55

Bonsoir,

En fait tu as que:
rnrn-1...r0=100r0+...+10nrn
Et de plus, pour tout i, tu as le résultat suivant:
ri10iri(-1)n[11]
ce qui te donne, en sommant tes congruences pour i variant de 1 à n:
100r0+...+10nrnr0+...+(-1)nrn[11]
Donc, ton nombre écrit en base 10 sera bien congru à la somme alternée de ses chiffres modulo 11, et si celle-ci est divisible par 11, ton nombre sera alors également divisible par 11

Posté par
jojo130194re : Critère divisibilité par 11 ? 03-11-10 à 10:30

Ok, j'ai compris comment arriver au résultat, merci beaucoup !

Mais, je ne comprends toujours pas ce qu'on appelle "somme alternée" ?
Dans le résultat, il n'y a que des additions, donc... ?

Posté par
AOIre : Critère divisibilité par 11 ? 03-11-10 à 10:36

Non tu alternes entre une addition et une soustraction (du fait de ton (-1)n), c'est ce qu'on appelle une somme alternée


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