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Cylindre incliné

Posté par philoux (invité) 20-09-05 à 19:51

Bonjour

Dans la continuité des énigmes de Tom_pascal et J-P, voici un pb sur lequel je bute :

Soit un cylindre droit de diamètre D et de hauteur H rempli d'eau.

Je l'incline de façon à renverser de l'eau, de sorte que le fond du cylindre soit visible.

Sur le fond du cylindre, on voit une distance k (paramètre) découverte sur un diamètre.

2 questions :

- quel est, en fonction de k/D, le pourcentage de volume encore présent dans le cylindre ?

- quel est, en fonction de k/D, l'angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale ?

Merci pour vos corrections détaillées.

Ca sent le calcul intégral...

Bonne résolution,

Philoux

Cylindre incliné

Posté par philoux (invité)re : Cylindre incliné 22-09-05 à 08:57

Bonjour,

Pas d'amateur ?

Merci

Philoux

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Cylindre incliné 22-09-05 à 10:38

Bonjour philoux;
Si \alpha est l'inclinaison de l'axe du cylindre par rapport à l'horizontale on voit que:
5$\blue\fbox{tan(\alpha)=\frac{D-k}{h}}
Je ferais un autre post pour répondre à la première question.

Cylindre incliné

Posté par philoux (invité)re : Cylindre incliné 22-09-05 à 10:44

Merci elhor

Sachant qu'au début, je voulais prendre un seau (d,D(d<D),H) pour coller à l'énigme de J-P, je me suis rabattu sur un cylindre, plus simple à traiter.

Si le coeur t'en dis pour le seau...

Philoux

Posté par
piepalmre : Cylindre incliné 22-09-05 à 18:51

Un peu de géométrie du cercle: si r est le rayon, la surface entre l'arc et la corde pour un angle au centre 2a est s(a)=(a-sin2a/2)r^2, et la longueur de la flèche est f=(1-sina)r
Considérons d'abord la partie haute du cylindre où l'eau ne recouvre pas le diamètre de la section parallèle à la surface de l'eau. Si x est la distance de cette section au bord supérieur, la flèche recouverte par l'eau sera f=x(D-k)/h donc x=fh/(D-k)=(1-sina)rh/(D-k). Notons au passage que f=k si x=kh/(D-k), pour a=arcsin(1-k/r)
Pour calculer le volume d'eau entre le haut et la section située à la hauteur X=kh/(D-k), il suffit d'intégrer s(a)dx pour a entre 0 et arcsin(1-k/r)
s(a)dx=(hr^3/(D-k))*(a-sin2a/2)(-cosada)=(hr^3/(D-k))*d(-asina-cosa-(cosa)^3/3)
Ce qui donne une expression assez compliquée pour ce volume
V1=(hr^3/(D-k))(4/3-(1-k/r)arcsin(1-k/r)-rac((k/r)(2-k/r)(4/3-(1-k/r)^2/3)
Le reste du volume, compris entre les profondeurs kh/(D-k) et h se calcule plus simplement puisqu'en vertu de la symétrie, c'est la moitié du volume du cylindre entre ces sections soit V2=pi*r^2*h(D-2k)/(D-k)
Le volume total d'eau est égal à V1+V2
sauf erreur, et il est fort possible qu'il y en ait!

Posté par
piepalmre : Cylindre incliné 22-09-05 à 18:53

J'en ai déjà trouvée une: lire V2=pi*r^2*h(D-2k)/2(D-k)

Posté par
kachouyabre : Cylindre incliné 22-09-05 à 19:02


]Bonsoir à tous;


Calculons le volume d'eau encore présent dans le cylindre qu'on note par Vk/D
  on a;       Vk/D=Sk/D.H
   avesc     Sk/D désigne la surface de la base occupée par l'eau (partie du cercle colorée en bleu).Soit A(a;r-k)un point de ce cercle de centre O et de rayon r (r>a>0) et r=D/2  (Le plan étant muni d'un repère 3$(O;\vec{i};\vec{j})
      Sk/D=\pi{r^2}-2S_1 avec                3$S_1=\int_0^a\sqrt{r^2-x^2}dx-(r-k)a(u.a)
en posant; x=rcos
3$S_1=r^2\int_{arccos(a/r)}^{\pi/2}sin^2\alpha\time{d\alpha}-(r-k)a={\frac{r^2}{2}(\frac{\pi}{2}-arccos(a/r)+\frac{a}{r^2}\sqrt{r^2-a^2})-a(r-k)
comme;3$r^2-a^2=(r-k)^2 soit       a=3$\sqrt{k(D-k)}=D\sqrt{t-t^2}avec t=k/D et3$\frac{a}{r}=2\sqrt{t-t^2}
On a alors;3$2S_1=r^2(\frac{\pi}{2}-arccos(a/r))-a(r-k)
Donc;4$S_{k/D}=\pi\time{r^2}[\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arccos(a/r))+\frac{a(r-k)}{\pi\time{r^2}}]
conclusion;

le pourcentage de volume d'eau encore present ds le cylindre est;
4$\red\fbox{V_k/V=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arccos(2\sqrt{t-t^2})+\frac{2}{\pi}(1-2t)\sqrt{t-t^2};t=\frac{k}{D};t\in[0;1]}
REMARQUES;

  * Pour  t=0 càd;  k=0 ona ;3$V_0=V(le cylindre reste plein )
  * pour t=1  càd; k=D on a; 3$V_1=V( ds ce cas le cylindre est       vide)
  *pour t=1/2 càd  k=r=D/2 on a; 3$V_{1/2}=\frac{1}{2}\time{V}(le culindre est moitié vide)

   sauf erreur de ma part    







Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Cylindre incliné 22-09-05 à 19:57

Bonjour philoux;
pour le seau je trouve que:
4$\blue\fbox{tan(\alpha)=\frac{\frac{D+d}{2}-k}{h}}

Cylindre incliné

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Cylindre incliné 23-09-05 à 04:27

Bonsoir;
dans le cas du cylindre je trouve pour rapport du volume occupé par l'eau au volume total du cylindre:

4$\blue\fbox{P(r)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi(1-r)}\int_{1-2r}^{1}(arcsin(u)+u\sqrt{1-u^2})du} où 4$\blue\fbox{r=\frac{k}{D}\in[0,1]}
on vérifie facilement que:
3$\blue\fbox{P(0)=\frac{1}{2}\\P(1)=0}
remarque:
l'intégrale est calculable par une intégration par parties 2$\fbox{1.f(u)\\f(u)=arcsin(u)+u\sqrt{1-u^2}\\f'(u)=2\sqrt{1-u^2}} et on trouve une expression assez compliquée c'est pourquoi j'ai préféré la forme intégrale ci dessus.
Sauf erreur bien entendu

(*)je ferais un autre post pour le cas du seau si c'est nécéssaire.

Posté par philoux (invité)re : Cylindre incliné 23-09-05 à 11:45

Merci à tous les trois

Plus accessible que je ne le pensais; fallait penser à intégrer selon théta

Philoux


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