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De quelle façon diverge la suite somme des 1/n (log. népérien) ?
Le but est de déterminer de quelle façon diverge la suite
Un=1 + 1/2 + 1/3 + ......... + 1/n
On a démontré auparavant qu'elle diverge vers +
dans la première partie.
1/ Pour X > 0, demontrer que X/(1+X)
ln(X+1)X
2/ En déduire que pour k
1 , on a 1/(1+k)ln(1+k)-ln(k)1/k
Déja sur ces première question je coince. Il faut partir de quelles informations ? J'ai essayer de partir avec le x>0 mais jusqu'alors sans succès
Bonsoir quand même 
Tu n'as pas d'indication pour la 1) ? As-tu déjà fait le chapitre "intégrale & primitives" ?
Non nous n'avons pas encore fait ce chapitre et nous ne sommes pas en train de le faire.
Il est simplement écrit dans l'énoncé mot pour mot
"1/ Pour x>0 démontrer l'encadrement suivant : x/(1+x) ln(1+x)x.
D'habitude j'arrive en général à trouver quelque chose mais la, la manipulation des logarithme et exponentielle pour déterminer l'encadrement me semble très compliqué
Ouh là je suis à la masse.
Une étude de fonctions fait l'affaire !
Pose g(x) = x - ln(1+x) et montre que g est positive sur ]0,+oo[
Pose h(x) = ln(1+x)-x/(1+x) et montre que h est positive sur ]0,+oo[
g'(x) = 1 - 1/(X+1) = X/(X+1) > 0 c'est bon ...
h'(x) = 1/(x+1) - (1+x-x)/(1+x)² = [(x+1)-1]/(x+2)² = x/(X+1)² > 0 c'est bon aussi merci beaucoups 
Comment on peut faire pour passer de 1/(1+x)ln(1+x)x
à 1/(1+k)ln(k+1)-ln(k)1/k (1)
Oui effectivement, je reprends donc la 1/
On a g'(x) et h'(x) positifs donc strictement croissantes.
Très facilement on trouve lim g(x) = lim h(x) = ln 1 = 0
x
0
Donc g(x) et h(x) positives sur ]0;+[
Pour le 2/, on pose x=1/k
donc on remplace (1/k)/(1+1/k)ln[1+(1/k)]1/k
(1/k)/[(1+k)/k]ln[(k+1)/k]1/k
1/(k+1)ln(k+&) - ln(k)1/k, on retombe sur ce qu'il faut merci
3/ A l'aide d'une somation portant sur la relation précédente, prouver que pour tout n1, on a Un+1-1ln(n+1)Un
En déduire que , pour tout n1, on a
ln(1+n)Un1+ln(n)
Retrouver que Un diverge vers +
J'ai trouvé finalement après avoir un peu galéré...
5/ déterminer le plus petie entier n° tel que Un > 7
avec exel, on trouve n=616 ^^ c'est bon ...
Pour le reste je recoince
6/ Soit (Cn)n2 définie pour n2
par Cn=Un-1-ln(n)
-Calculer Cn+1-Cn, en deduire le sens de variation de la suite (Cn).
7/-Montrer que pour tout n2 : Cn1+ln(n-1)-ln(n), en déduire que la suite Cn converge. On notera & sa limite
8/-De quelle manière diverge la suite Un finalement ?
c'est pour la question 7 en fait que je coince.
La 6éme je trouve une suite décroissante.
avec Cn+1-Cn=(1/n)ln[n/(1+n)]
Je t'en prie.
Par contre à la 6, je trouve une différence Cn+1 - Cn égale à 1/n + ln(1 - 1/(n+1)) qui est positif d'après une des questions précédentes.
La majoration attendue question 7 équivaut à prouver que pour tout n > 1, ln(n) > 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
Or cela est assez immédiat : quand tu intègres 1/x de 1 à n (n supérieur ou égal à 2), tu minores 1/x par 1/2 sur [1;2], par 1/3 sur [2;3] , par 1/(k+1) sur [k;k+1],..., par 1/n sur [1/(n-1);1/n] , donc tu minores ton intégrale par la somme des intégrales de 1/(k+1) sur l'intervalle [k;k+1] avec k variant de 1 à n-1, ce qui donne exactement 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
Or, le membre de gauche est égal à [ln(x)]1n = ln(n), d'où la minoration souhaitée.
Pardon, il fallait lire:
par 1/n sur [(n-1);n]
et non :
par 1/n sur [1/(n-1);1/n]
nous n'avons pas encore vu le thème sur les intégratio malheureusement.
Pour la question 6/ oui effectivement j'avais mis un fois a la place d'un + ce qui a tout modofié merci
Ah eh bien dans ce cas il faut chercher à appliquer une question précédente!
Or que vois-je, à la question 3 tu avais déjà montré ce qu'il fallait, à savoir u_n < 1 + ln(n) !
Cela s'écrit bien u_(n-1) < 1 + ln(n-1) d'où en soustrayant ln(n) de chaque côté: c_n est inférieur à ce qu'il faut!
Après c'est simple: ln(n-1) - ln(n) est négatif, donc (c_n) est croissante et majorée par 1, donc convergente.
Donc Un diverge à peu près à la vitesse de ln(n): Un / ln(n) tend vers 1 (on dit que les deux suites sont équivalentes).
Remarque: le nombre qui apparaît s'appelle la constante d'Euler.
Il est égal à la limite de (1 + 1/2 + ... + 1/n) - ln(n) .
A ce jour, on ne sait toujours pas si la constante d'Euler est un rationnel ou un irrationnel.
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