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Décomposition dans R[X] et dans C[x]
Bonjour,
Merci d'avance. 
On considère les polynômes et
de
.
a) Calculer D = pgcd(A ; B).
b) Trouver des polynômes U et V de tels que UA +VB = .
c) Décomposer A et B en produit de facteurs irréductibles dans et dans
.
a)
| Dividende | X4 + X3+X+1 | X3+X2+X+1 | -X2+1 |
| Diviseur | X3+X2+X+1 | -X2+1 | 2X+2 |
| Quotient | X | -X-1 | -(1/2)X+1/2 |
| Reste | -X2+1 | 2X+2 | 0 |
Donc pgcd(A ; B) = 2X + 2
b) X4 + X3 + X + 1 = (X3 + X2 + X +1) X -X2 + 1
X3 + X2 + X +1 = (-X-1)(-X2+1) + 2X +2
Donc 2X + 2 = B - (-X-1)(-X2 +1)
2X + 2 = B - (-X-1)(A-BX)
2X + 2 = A(X + 1) + B(-X2 - X + 1)
Donc U = X + 1 et V = -X2 - X + 1
salut
il est évident que :
vu que x^2 + 1 est irréductible sur R et ne divise pas x^3 + 1 un pgcd de A et B est x + 1 (et tous les pgcd sont les k(x + 1) avec k un réel non nul)
ensuite vu que on essaie
donc
D'accord l'élément inversible est donc 2.
2 * 1/2 = 1/2 * 2 = 1
Du coup on garde pgcd(A ; B) = 2X + 2 ?
c) * Dans
A = X4 + X3 + X + 1
A = (X + 1) (X3 + 1)
A = (X +1) ( X +1) (X2 - X +1)
A = (X + 1)2 (X2-X +1)
* Dans
A =
*Dans
B= X3 + X2 +X +1
B = (X+ 1)(X2 + 1)
*Dans
B = (X +1)(X - i) (X+ i)
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