Niveau Maths sup

décomposition de Householder

Posté par
casiopée 22-10-07 à 16:37

Bonjour à tous,
Je suis dans la décomposition de matrices3*3 et voudrais montrer que A=QR, où Q est une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire supérieure.
J'ai introduit la matrice Q1=I-2v $^t$ v,
où x est le 1er vecteur colonne deA, u=x-n(u).e1, n(u) = norme de u, v=u/n(u)
J'ai montée que Q est orthogonale
Il me reste à montrer que Qx est de la forme $^t$ (a 0 0)
et la je bloque, quelqu'un pourrait-il m'aider?

Posté par décomposition de Householder 22-10-07 à 16:38

avec a= n(u), j'avais oublié de préciser, sorry...

Posté par re : décomposition de Householder 22-10-07 à 18:56

Salut chère collègue!
Je vois que tu es dans les trucs passionnants

Je trouve bien ce résultat:

$4$Qx=x-2v^tvx=x-\frac 2{||u||^2}u^tux$

où $u^tu$ est la matrice

$(x_1-a)^2\;\;(x_1-a)x_2\;\;(x_1-a)x_3$
$x_2(x_1-a)\;\;\;\;x_2^2\;\;\;x_2x_3$
$x_3(x_1-a)\;\;\;x_3x_2\;\;\;x_3^2$

On est censé trouver 0 comme deuxième composante de Qx par exemple.

Commençons par la deuxième composante de $u^tux$ , je trouve

$x_2x_1(x_1-a)+x_2^3+x_2x_3^2$

et compte tenu de $||u||^2=(x_1-a)^2+x_2^2+x_3^2$

cela fait encore $x_2||u||^2+x_2a(x_1-a)$

Alors la deuxième composante de Qx est:

$4$x_2-\frac 2{||u||^2}[x_2||u||^2+x_2a(x_1-a)]=-x_2-2\frac{x_2a(x_1-a)}{||u||^2}$

qui vaut 0 ssi $1+\frac{2a(x_1-a)}{||u||^2}=0$

soit ssi $2a(a-x_1)=||u||^2$ .

Ceci équivaut successivement à:

$2a(a-x_1)=(x_1-a)^2+x_2^2+x_3^2$
$(a-x_1)[-x-1-a]+x_2^2+x_3^2=0$
$-(a^2-x_1^2)+x_2^2+x_3^2=0$

et cela est vrai par définition de a.

Je te laisse vérifier qu'on trouve bien ce qu'il faut pour les autres composantes de a.

Tigweg

Posté par re : décomposition de Householder 22-10-07 à 18:58

Pardon, j'ai écrit [-x-1-a] au lieu de [-x₁-a] à l'avant-dernière ligne du calcul...

Posté par décomposition de Householder 22-10-07 à 19:02

waouuhh,
les calculs m'ont un peu rebuté,j'ai essayé de trouver un cas général, j'ai eu tord..
Merci je m'y replonge...
je t'envoie un mail sur le site de l'académie pour avoir des nouvelles
A+

Posté par re : décomposition de Householder 22-10-07 à 19:03

OK!

C'est vrai qu'il faut être motivé(e)!

(Personnellement, j'ai toujours haï l'analyse numérique )

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