Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Décomposition de polynômes

Posté par
matix 14-03-06 à 23:18

Bonsoir,
Je ne parviens pas à faire l'exercice d'algèbre suivant ... Pouvez-vous m'y aider? Merci d'avance, et bonne .. nuit!

Décomposer dans \mathbb{R}[X] le polynôme  X^{2n}+1 pour  n>0; en déduire une expression "par radicaux" des nombres  cos(k \Pi / 2^n) pour  0 \leq k \leq 2^n

Je me doute qu'il faut que je cherche les racines de mon polynômes...déjà, je ne me souviens plus comment faire.
Ensuite, je ne vois vraiment pas comment résoudre l'exo...

Posté par
Youpire : Décomposition de polynômes 14-03-06 à 23:39

Est ce que tu es sûr que ce n'est pas dans \mathbb{C}[X] qu'il faut décomposer ton polynôme, car dans \mathbb{R}[X] il n'y a pas de racine.

Posté par
kaiser Moderateurre : Décomposition de polynômes 14-03-06 à 23:42

Bonsoir à tous

Youpi> On peut toujours décomposer ce polynôme en produit de polynômes de degré 2 et à coefficients réels.

Kaiser

Posté par
matixre : Décomposition de polynômes 14-03-06 à 23:51

J'en suis bien sûr, l'énoncé est formel ...

Posté par
matixre : Décomposition de polynômes 15-03-06 à 00:10

Ainsi, quelqu'un a-t-il une idée?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Décomposition de polynômes 15-03-06 à 08:14

Bonjour,

Piste à essayer :
décompose dans C[X] grâce aux racines 2n-ièmes de -1, puis regroupe les binômes à coef. complexes deux à deux pour former des trinômes à coef. réels de la forme X²+-2Xcos()+1

Nicolas

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Décomposition de polynômes 15-03-06 à 10:25

X^(2n) = -1

X^(2n) = cos(Pi + 2kPi) + i.sin(Pi + 2kPi)

X^(2n) = cos(Pi(2k+1)) + i.sin(Pi(2k+1))

X = cos(Pi(2k+1)/(2n)) + i.sin(Pi(2k+1)/(2n))

Si une solution existe, le conjugué de cette solution est aussi solution.

--> P(X) = X^(2n) + 1 est divisible par:

(X - cos(Pi(2k+1)/(2n)) - i.sin(Pi(2k+1)/(2n))).(X - cos(Pi(2k+1)/(2n)) + i.sin(Pi(2k+1)/(2n)))

= x² - 2.x.cos(Pi(2k+1)/(2n)) + cos²(Pi(2k+1)/(2n)) + sin²(Pi(2k+1)/(2n))

= x² - 2.x.cos(Pi(2k+1)/(2n)) + 1
-----
4$ X^{2n} + 1 = \Pi_{k=0}^{n-1} [ X^2 - 2.X.cos(Pi(2k+1)/(2n)) + 1]
-----
Sauf distraction, vérifie.  

Posté par
Youpire : Décomposition de polynômes 15-03-06 à 10:52

Bonjour JP,

je confirme ton résultat je trouve bien la même chose en passant également par la décomposition dans C, par contre je n'ai pas trouvé pour le moment comment déduire la fameuse expression par radicaux.

Posté par
matixre : Décomposition de polynômes 18-03-06 à 01:57

Han ... je me suis trompé dans mon énoncé ...
Il ne s'agit pas de X^{2n}+1 mais de X^{2^n}+1 ...
Du coup,
Qu'est-ce que cela change?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Décomposition de polynômes 07-05-06 à 13:29

Bonjour,

Je me permets de faire remonter ce topic, car la solution m'intéresserait.

Pour l'instant, j'ai redémontré le lemme de J-P, à ma sauce :
Le polynôme X^{2n}+1 admet pour racines les racines (2n)-ième de (-1). Donc :
\begin{array}{rcl}x^{2n}+1 & = & \displaystyle\prod_{k=-n}^{n-1}\left(x-e^{i\left(\frac{\pi}{2n}+k\frac{2\pi}{2n}\right)}\right)\\&=& \displaystyle\prod_{k=-n}^{-1}\left(x-e^{i\left(\frac{\pi}{2n}+k\frac{2\pi}{2n}\right)}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{i\left(\frac{\pi}{2n}+k\frac{2\pi}{2n}\right)}\right) \end{array}
Dans le premier produit, on opère le changement d'indice k\mapsto -k-1 :
\begin{array}{rcl}x^{2n}+1 & = & \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{-i\left(\frac{\pi}{2n}+k\frac{2\pi}{2n}\right)}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{i\left(\frac{\pi}{2n}+k\frac{2\pi}{2n}\right)}\right)\\&=& \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2x\cos\left(\frac{\pi}{2n}+k\frac{2\pi}{2n}\right)+1\right)\end{array}
Donc :
\fbox{\forall x\in\mathbb{C},\quad x^{2n}+1=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2x\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}+1\right)}

En corrigeant l'énoncé comme indiqué par matix, je pense qu'on peut adapter en :
\fbox{\forall x\in\mathbb{C},\quad x^{2^n}+1=\displaystyle\prod_{k=0}^{2^{n-1}-1}\left(x^2-2x\cos\frac{(2k+1)\pi}{2^n}+1\right)}

Il reste à en déduire une expression "par radicaux" des nombres \cos\frac{k\pi}{2^n} pour 0\le k\le 2^n

Si quelqu'un a une idée pour continuer...
Merci d'avance,

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Décomposition de polynômes 17-05-06 à 13:07

Je me permets de faire remonter ce fil, au cas où il inspire quelqu'un...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !