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decomposition en element simple

Posté par
tp9 05-01-08 à 10:56

Comment fait on pour trouver les inconnus lorsqu'il y a du x au numerateur.
par exemple avec une factorisation complexe au denominateur.
En fait je doit integrer(2x-3)/(x^2+2ax+3a^2).
Je commence donc par factoriser le denominateur, premier problème je trouve une expression enorme          
(-2a-i x racine(6a^2))/2 pour la premier racine et conjugué pour la seconde.
Deuxième problème je ne sais pas comment m'y prendre avec le (2x-3) au numerateur.

Posté par
raymond Correcteurdecomposition en element simple 05-01-08 à 11:20

Bonjour. Tu peux en faire autant !

Ecris le numérateur : 2(x + a) - (2a + 3)

et le dénominateur : (x + a)² + 2a²

Tu intégreras avec un logarithme et un Arctangente.

Posté par
soucoure : decomposition en element simple 05-01-08 à 11:28

\displaystyle\frac{2x-3}{\ x^2+2ax+3a^2\ }=\frac{2x+2a}{\ x^2+2ax+3a^2\ }-\frac{2a+3}{\ x^2+2ax+3a^2\ }=\frac{2x+2a}{\ x^2+2ax+3a^2\ }-\frac{2a+3}{\ (x+a)^2+2a^2\ }=\frac{2x+2a}{\ x^2+2ax+3a^2\ }-\frac{2a+3}{\ 2a^2\left(\left[\frac{\ \sqrt{2}\ }{2}\left(\frac{\ x\ }{a}+1\right)\right]^2+1\right)}

Ce qui s'intégre facilement en \displaystyle\ln(x^2+2ax+3a^2)+\sqrt{2}\frac{\ 2a+3\ }{2a}\arctan\left(\frac{\ \sqrt{2}\ }{2}\left(\frac{\ x\ }{a}+1\right)\right) si a\in\mathbb{R} !



Posté par
soucoure : decomposition en element simple 05-01-08 à 11:28

Eventuellement une valeur absolue dans le \ln...

Posté par
tp9merci 05-01-08 à 11:38

je vous remercie  juster un truc, je ne comprend pas la racine de 2 devant le arctan  et n'est ce pas plutot (2a+3/2a^2).
La dernière question c'est tout simplement comment faite vous pour trouver ces subterfuges de grande envergure???
serait-ce l'experience???

Posté par
soucoure : decomposition en element simple 05-01-08 à 11:45

On a bien \left(\arctan\left(\frac{\%20\sqrt{2}\%20}{2}\left(\frac{\%20x\%20}{a}+1\right)\right)\right)^\prime=\left(\frac{\%20\sqrt{2}\%20}{2}\left(\frac{\%20x\%20}{a}+1\right)\right)^\prime\arctan^\prime\left(\frac{\%20\sqrt{2}\%20}{2}\left(\frac{\%20x\%20}{a}+1\right)\right) ?

C'est dans le même genre que pour calculer les primitives de \frac{1}{\ 1+x^3\ } par exemple où il faudra faire la même nanip...

Posté par
tp9quelle manipulation 05-01-08 à 11:54

quelle manipulation??

Posté par
soucoure : decomposition en element simple 05-01-08 à 11:58

Du genre : \frac{\ N(x)\ }{D(x)}=\frac{\ D^\prime(x)\ }{D(x)}+\frac{\ N(x)-D^\prime(x)\ }{D(x)} où deg(N)<deg(D) (sinon faire une petie division euclidienne) et où ce sont des polynômes...


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