Bonsoir, décomposer en éléments simples ça consiste à poser :
et à trouver A et B par divers procédés. Le plus élémentaire étant de réduire ce qu'il y a à droite au même dénominateur et de l'identifier avec ce qu'il y a à gauche.
C'est pareil avec (4x²+x+4)/(x-1)*(x+2)²=A/(x+2)+B(x+2)²+C/(x-1)

Par exemple ici pour la seconde tu dois trouver (4x²+x+4)/(x-1)*(x+2)²=3/(x+2)-6/(x+2)²+1/(x-1)

je t'assure, je ne comprend pas
pourquoi les reduire au meme denominateur alors qu'elles y sont deja



a moins qu'il faille faire cela:



Je suis vraiment desolé , mais je ne comprend vraiment pas,
j'ai reduit à droite,et...meme si je reduit uniquement droite j 'obtiens cela et apres,...je ciomprend pas



sincerement desolé glapion

idem pour la 2, je ne comprend pas pourquoi tu te retrouve avec 3 fractions A,B,C

C'est normal que tu n'y arrives pas avec A et B : tes polynômes au dénominateur n'ont pas de racine réelle donc ils ne sont pas factorisables en utilisant des coefficients réels.

Conclusion, pour décomposer en fractions rationnelles
soit (méthode 1) tu passes par les nombres complexes,
soit (méthode 2) tu recherches ta décomposition en considérent au nominateur de tes fractions rationnelles des polynômes de degré 1 et non pas des constantes

F1(x) = x/((x²+a²)(x²+b²))

F1(x) = (Ax+B)/(x²+a²) + (Cx+D)/(x²+b²)

F1(x) = [(Ax+B)(x²+b²) + (Cx+D)(x²+a²)]/((x²+a²)(x²+b²))


x/((x²+a²)(x²+b²)) = [(Ax+B)(x²+b²) + (Cx+D)(x²+a²)]/((x²+a²)(x²+b²))

x = (Ax+B)(x²+b²) + (Cx+D)(x²+a²)

x = Ax³ + Ab²x + Bx² + b²B + Cx³ + Ca²x + Dx² + a²D
x = (A+C)x³ + (B+D)x² + (Ca²+Ab²)x + a²D + b²B

En identifiant les coefficients de même puissance en x des 2 membres, on aboutit au système de 4 équation à 4 inconnues A, B, C et D :

A+C = 0
B+D = 0
Ca²+Ab² = 1
a²D + b²B = 0

On résout:

A = -C
B = -D

-A.a² + Ab² = 1
-B.a² + b²B = 0

B = 0
A = 1/(b²-a²)  (Si a² est différent de b²)
D = 0
C = 1/(a²-b²)

Et donc si (Si a² est différent de b²) :

---> F1(x) = [1/(b-a²)].x/(x²+a²) + [1/(a²-b²)].x/(x²+b²)
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Sauf distraction.  

Zut, à la fin de ma réponse, lire :

---> F1(x) = [1/(b²-a²)].x/(x²+a²) + [1/(a²-b²)].x/(x²+b²)

F2(x)= (4x²+x+4)/[(x-1)*(x+2)²]

F2(x) = A/(x-1) + (Bx+C)/(x+2)²

F2(x) = [A(x+2)² + (Bx+C)(x-1)]/[(x-1).(x+2)²]


[A(x+2)² + (Bx+C)(x-1)]/[(x-1).(x+2)²] = (4x²+x+4)/[(x-1)*(x+2)²]

A(x+2)² + (Bx+C)(x-1) = (4x²+x+4)

Ax² + 4Ax + 4A + Bx² - Bx + Cx - C = 4x²+x+4
(A+B)x² + (4A-B+C)x + 4A-C = 4x²+x+4

A+B = 4
4A-B+C = 1
4A-C = 4

A = 1 ; B = 3 ; C = 0

F2(x) = 1/(x-1) + 3x/(x+2)²
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Sauf distraction.