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decomposition en elements simples

Posté par
darchov 09-04-07 à 13:49

bonjour
je bloque sur 3 exemples :
decomposer en elmts simples sur C les fractions suivantes:

F = (X^4+1)/(X^4+X^2+1) (celui la je suis litterallement coince et la correction du bouquin est tres peu detilllé)

F = (X^3-1)/(X-1)(X-2)(X-3)
celui la j'ai du mal a trouve la valeur de a avc a/(X-1) a doit etre egale a 1

F= X^2/(X^2+X+1)^2
celui la pas de correction ds le bouquin

F = (X^2+4)^2/(X^2+1)(X^2-2)^2
celui la pas de correction ds le bouquin

je me rends compte que ce que je vous demande et un peu long ms j'ai de partielles a la rentree et j'ai tres peu d'exemples de traiter en td et ds mon bouquin tt les exemples ne sont pas corriges merci a vous pour votre aide

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 13:54

Bonjour
Pour la deuxième, il y a x-1 en facteur en haut.
après simplification, F(X)=(X²+X+1)/((X-2)(X-3))
Il faut commencer par la partie entière : F(X)=1+ (6X-5)/((X-2)(X-3)) etc
Mais je ne vois pas d'où sortira une fraction en 1/(X-1) ?

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 13:56

Bonjour

Pour la première. Pour ne pas oublier la partie entière dans la décomposition, autant la sortir tout de suite :

F = (1+x4)/(x4+x²+1) = (1+x4+x²-x²)/(x4+x²+1) = 1 - [ x²/(x4+x²+1) ]

Reste à décomposer en élément simple :

x²/(x4+x²+1)

Pour cela, remarque que :

x4+x²+1 = (x²+1)²-x² = (x²+x+1)(x²-x+1)

Vu que tu es dans C, reste à trouver les racines complexes des 2 polynomes de degré 2.

Pense déjà que  1+j+j² = 0

Bon courage ...

Romain

Posté par kwika88 (invité)re : decomposition en elements simples 09-04-07 à 14:35

pour la deusième
pour trouver a il faut multiplier les deux membres par x-1 puis mettre x=1
se qui donne la valeur de a.meme chose pour b et c

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 15:07

pour la 2eme c bon ms pour tt les autres c encore flou aidez moi svp

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:03

darchov :

decomposition en elements simples

C'est si dur que ça d'écrire :

c = c'est

ms = mais

tt = tout

Posté par kwika88 (invité)re : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:15

pour la 3eme on a
x²/(x²+x+1)²= (ax+b/x²+x+1)+(cx+d/(x²+x+1)²)
tu va reduir au meme dénominateur et aboutir à un systeme d'equation

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:21

>> kwika88 :

On décompose dans C ici :

donc il faut factoriser  x²+x+1

et voir que j est racine (donc aussi son conjugué) car 1+j+j² = 0

A+

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:24

c'est la que j'ai du mal peux tu me montrer stp et concernant les abreviations ms = mais et ts = tout c'est tres courant je ne vois pas ou est le probleme et deuxieme chose saches que je n'ai pas de telephone portable :)

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:25

mais tu as raison dans le fond trop d'abreviations nuit a la comprehension

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:29

j du mal a trouver les coefficients je ne suis pas tres a l'aise avec la methode de multiplier par (X-a) et de poser X =a c'est pour ça que j'aimerais voir comment appliquer cette mrthode sur C

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 16:44

Je te montre avec la deuxième : on en était restés à
F(x)=\frac{x^3-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{6x-5}{(x-2)(x-3)}=1+\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-3}
donc \frac{6x-5}{(x-2)(x-3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-3}
Pour obtenir a :
On multiplie tout par (x-2) :
\frac{6x-5}{(x-3)}=a+(x-2)\frac{b}{x-3}
On remplace x par 2 :
\frac{12-5}{(2-3)}=a+(2-2).....
(je ne me fatigue pas à calculer la fin : les ..., car de toutes façons c'est multiplié par 0)
d'où a=-7

Pour obtenir b :
On multiplie tout par (x-3) :
\frac{6x-5}{(x-2)}=b+(x-3)\frac{a}{x-2}
On remplace x par 3 :
\frac{18-5}{(3-2)}=b+(3-3).....
d'où b=13

Avec des complexes, c'est exactement pareil

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:06

oui ms avc des complexe si on multiplie par (X-j) et que l'on pose X =j on peut se retrouve avc (j-jbarre et la on gere comment ?

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:09

ou alors on multiplie par (X-j)^2 et on pose X=j on se debrouilles comment avc (j-jbarre)^2 ?
merci pour vos eclarcissements

Posté par
Camélia Correcteurre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:14

Bonjour à tous

j=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)\\\overline j=\cos(2\pi/3)-i\sin(2\pi/3)

est-ce si difficile de faire la différence?

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:22

j et j barre n'ont pas des proprietes qui nous evites de passer par l'exponentielle complexe ?

Posté par
Camélia Correcteurre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:27

j et son conjugué sont les racines 3-èmes de l'unité différentes de 1. Il s'agit des racines de X2+X+1, comme on te le signale depuis le début.
Tu peux les placer sur un cercle trigonométrique et fabriquer leur somme et leur différence. Que veux-tu d'autre?

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:31

oki oki c bon je sens que je t'ennuies avc mes questions escuse moi si tout n'est pas clair pour moi desolé

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:31

>> darchov

Ca fait à peut près 4 fois que je te répète que :

1+j+j² = 0   avec  j3 = 1

De plus j² = jbar. Donc :

(j-jbar)² = (j-j²)² = j²+j4-2.j3 = j²+j-2 = -1-2 = -3

Les complexes, c'est pas plus dur que les réels !

Il suffit de se concentrer un peu :D

Posté par
Camélia Correcteurre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:35

Salut Romain

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:37

Au fait darchov : désolé pour tout à l'heure, en voyant tes posts, je prends conscience que tu n'écris pas du tout en sms ...

C'est qu'il y a tellement de gens qui le font qu'il faut un peu recadrer ...

PS : On essai juste de t'aider, alors ne t'énerve pas, ça ne sert à rien !

Romain

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:37

Salut Camélia

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 17:42

dsl je suis un peu un cran et les complexes on tendance a me faire peur jy peux rien :)

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 19:56

j^4 c quoi ??

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 19:57

pouvez vous par exemple traiter le troisieme il me pose bcp de probleme ça m'aidera bcp j pense

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 19:58

car moi j bloque tjrs

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 09-04-07 à 20:13

Citation :
j^4 c quoi ??

Est-ce que tu comprends ce que l'on fait ?

j = exp(2i.pi/3)  cf le post de Camélia ...

Donc :

j4 = exp(8i.pi/3) = exp(2i.pi/3)  ok ?

Sinon plus rapide :  j3 = 1

donc  j4 = j3.j = 1.j = j ok ???

Tu n'as qu'a traité le 3ème, quit à ce que l'on te corrige.

Tu sais, ça prend tu temps de tout écrire ...

Romain

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:49

Bonjour
pour le troisième, je commence par \frac{x}{x^2+x+1} que je mettrai au carré ensuite :
\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{a}{x-j}+\frac{b}{x-j^2}
On multiplie tout par (x-j) et on remplace x par j :
a=\frac{j}{j-j^2}=\frac{1-j^2}{3}
On multiplie tout par (x-j^2) et on remplace x par j^2 :
b=\frac{j^2}{j^2-j}=\frac{1-j}{3}

On en est à \frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{3}\(\frac{1-j^2}{x-j}+\frac{1-j}{x-j^2}\)

On élève au carré :
\frac{x^2}{(x^2+x+1=^2}=\frac{1}{9}\(\frac{1-j^2}{x-j}+\frac{1-j}{x-j^2}\)^2 \\=\frac{1}{9}\(\frac{(1-j^2)^2}{(x-j)^2}+\frac{(1-j)^2}{(x-j^2)^2}+\frac{6}{x^2+x+1}\)
reste à trouver les coeffs tels que
\frac{6}{x^2+x+1}=\frac{c}{x-j}+\frac{d}{x-j^2} : je te laisse faire pour t'entraîner.

Remarque : j'ai souvent utilisé j^2+j+1=0, donc j^2+j=-1, et (x-j)(x-j^2)=x^2+x+1, donc (1-j)(1-j^2)=1+1+1=3

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:51

P.S. (1-j^2)^2=-3j^2 et (1-j)^2=-3j

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:54

du coup, on peut simplifier par 3 :
\frac{x^2}{(x^2+x+1)^2}=\frac{1}{3}\(\frac{-j^2}{(x-j)^2}-\frac{j}{(x-j^2)^2}+\frac{2}{x^2+x+1}\)
et remplacer 6 par 2 dans la dernière décomposition que je t'ai laissé à faire ...

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:55

Remarque : j'ai écrit j^2 parce que je ne sais pas faire j barre en LaTeX, mais c'est la même chose.

Posté par
lyonnaisre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:56

Bonjour lafol

\bar{j}  s'obtient en tappant  \bar{j}

Romain

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:58

Merci Romain (et bonjour)

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 09:59

(je crois que je vais continuer à taper j^2 : 3 touches au lieu de (7 dont 3 combinaisons avec altgr)..... )

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 11:31

bonjour et tout d'abord merci a tous :) je suis presque devenu le roi de la decomposition en elements simples ms j'ai encore un ptit trux qui me gene  si je ne pense pas a faire ma decomposition et apres a elever au carre je me retrouve avc :

X^2/((X-j)^2(X-jbar)^2)= a/(X-j)+b/(x-jbar)+c/(X-j)^2+d/(X-jbar)^2

pour trouver c et d pas de probleme ms pour a par exemple si je multiplie par (X-j) et que j pose X=j a gauche de mon equalite je trouve que ça s'annule quel est la methode a utiliser ds ce cas la ?

autre petite question vous parlez ts de latex ms c'est quoi ?

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 11:37

Pour LaTeX clique ici : [lien]

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 11:45

et pour mon autre question ?

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 11:45

Pour tes autres coeffs, tu peux obtenir un système de deux équations à deux inconnues (c et d) en prenant deux valeurs particulières de x, par exemple x=0, et x= -1
0=a/(-j) + b/(-j²) + c/(_j)² + d/(-j²)² et 1= a/j² + b/j + c/j + d/j², toujours en utilisant 1+j+j²=0 et jCube =1 donc j puissance 4 = j....
Comme tu connais a et b, tu les remplaces par leurs valeurs et tu résous le système pour avoir c et d

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 12:11

il ya pas une methode avc la limite du plus petit coefficients ms je sais pas trop comment l'appliquer ?

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 12:14

Tu peux multiplier par x puis faire tendre x vers l'infini, ça te donne une relation entre a et b (a+b=0, ici, sauf erreur)

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 12:42

comment savoir si on doit multiplier par x ou par x^2....etc ?

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 13:06

si tu ne multiplies pas du tout, tu as 0 comme limite des deux côtés : pas très utile ...
si tu multiplies par trop de x, tu cours le risque d'avoir des limites infinies : c'est ce qui doit te guider, il faut tomber entre 0 et l'infini ....

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 14:48

oki merci a toi je penses qu'avc ces eclarcissements et quelques exemples mon partielles va se passer du mieux possibles :)

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 14:49

ps :et la methode des limites est aplliquable ds n'importe quelle situation ?

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 14:59

à condition d'évacuer la partie entière, éventuellement. (si c'est un polynôme non constant, elle fera tendre vers +oo des deux côtés)
Sinon, il y a une méthode à base de division suivant les puissances croissantes, pour trouver d'un coup tous les \frac{a_{i,n}}{(x-r_i)^n} dans le cas de pôles multiples, tu l'as peut-être vue en cours ?

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 16:10

oui j la relation a =-b ms apres je vais quoi pour trouver mes coefficients ?

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 16:13

excuse, dans mon message de 11:45, je me suis emmelée les pinceaux entre a,b et c,d. ce sont c et d que tu connais déjà, et que tu remplaces par leurs valeurs, et les équations te donnent alors a et b ....

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 16:40

c pas tres clair peux tu me le montrer..

Posté par
lafol Moderateurre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 16:45

je pense que tu avais trouvé c= -j²/3 et d=-j/3
0=a/(-j) + b/(-j²) + c/(_j)² + d/(-j²)² et 1= a/j² + b/j + c/j + d/j²
donne alors 0 = -a/j - b/j² -1/3-1/3 et 1 = a/j²+b/j-j/3-1/(3j)
on multiplie tout par j² (pour "tuer" les fractions)
0= -aj - b -2j²/3 et j² = a + bj -1/3 -j/3
"il n'y a plus qu'à " résoudre pour avoir a et b.

Posté par
darchovre : decomposition en elements simples 10-04-07 à 18:53

oki merci


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