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Décomposition en Eléments simples

Posté par
Laurierie 11-05-06 à 20:18

Bonsoir, je travaille sur un exercice portant sur les décompositions, et quelques questions me posent problème.

Soit n appartenant à N* et G_n=\frac{1}{X^2(X+1)^2...(X+n)^2.

On note G_n=\sum_{k=0}^n [\frac{a_k}{(X+k)^2}+\frac{b_k}{X+k}].

1.Calculer a_k. Je trouve \frac{1}{\prod{j=0,i\neq{j}}^n (-k+j)^2

2.Soit P=1-\frac{a_k}{(X+k)^2G_n} . J'ai montré que P était un polynome et qu'il existe Q appartenant àR_n[X] tel que P=(X+k)Q

3.Montrer que Q(-k)=P'(-k)=-2\sum_{i=0,i\neq{k}}^n (\frac{1}{i-k}) . J'ai montré que Q(-k)=P'(-k) mais pas le reste.

4.En développant 1-\frac{a_k}{(X+k)^2G_n}, montrer que b_k=-2a_k\sum_{i=0,i\neq{k}}^n (\frac{1}{i-k}).

Voila je bloque sur la fin de la 3 et la 4. Pourriez vous m'aider? Merci beaucoup

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en Eléments simples 11-05-06 à 21:24

Bonsoir Laurierie;
(*)Pour la fin du 3 tu pourras remarquer que 2$\fbox{P(X)=1-a_k\underb{\Bigprod_{i=0\\i\neq k}^{n}(X+i)^2}_{R(X)}} et donc que 2$\fbox{P'(X)=-a_kR'(X)} ensuite vu que R est le polynome (de degré 2n) ayant pour racines doubles les \fbox{-i\\0\le i\le n\\i\neq k} tu pourras facilement établir que 2$\fbox{\forall X\notin\{0,-1,..,-n\}-\{-k\}\\R'(X)=R(X)\Bigsum_{i=0\\i\neq k}^{n}\frac{2}{X+i}} et donc que 2$\fbox{R'(-k)=R(-k)\Bigsum_{i=0\\i\neq k}^{n}\frac{2}{i-k}} et en remarquant que \fbox{a_kR(-k)=1} il vient que 3$\blue\fbox{P'(-k)=-2\Bigsum_{i=0\\i\neq k}^{n}\frac{1}{i-k}}
(*)Pour la 4 tu pourras montrer en utilisant l'expression 2$\fbox{P(X)=1-\frac{a_k}{(X+k)^2G_n}} que 3$\blue\fbox{P'(-k)=\frac{b_k}{a_k}}

Posté par
Laurieriere : Décomposition en Eléments simples 11-05-06 à 21:34

Merci beaucoup pour ton aide précieuse et tes explications tres claire. Merci encore


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