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decomposition en éléments simples sur R

Posté par
mariemarie 19-04-08 à 22:25

bonjour.
Je cherche à réduire en éléments simples sur la fraction \frac{1}{(X-a)^n(X-b)^m}
où m,n dans N\{0}, a et b des réels distincts.

j'avais bien essayé (en vain) d'écrire \frac{1}{(X-a)(X-b)}=\frac{1}{(a-b)}\times[\frac{1}{X-a}-\frac{1}{X-b}]

Auriez-vous des indications à me donner s'il vous plait
Merci d'avance.
bonne soirée

Posté par
mariemariere : decomposition en éléments simples sur R 19-04-08 à 22:45

je viens d'avoir une petite idée, appliquez Taylor en a à f(X)=(X-b)^{-m}
est-ce la bonne méthode?
Merci

Posté par
perroquetre : decomposition en éléments simples sur R 19-04-08 à 23:21

Bonjour, mariemarie

C'est une bonne méthode

Posté par
disdrometrere : decomposition en éléments simples sur R 19-04-08 à 23:23

bonsoir

si mes souvenirs sont bons
la décomposition est de la forme :

4$\frac{1}{(X-a)^m(X-b)^n} = \sum_{k=1}^{m} {\frac{c_k}{(X-a)^k} + \sum_{j=1}^{n} {\frac{d_j}{(X-b)^j}

Posté par
mariemariere : decomposition en éléments simples sur R 19-04-08 à 23:32

bonsoir à vous deux, et merci d'avoir pris quelques instants pour moi. En appliquant Taylor comme indiqué ci dessus, j'obtiens une décomposition seulement avec des termes en \frac{1}{(X-a)^k}(k=n-m...n, en supposant nm). N'est-ce pas étrange de ne pas avoir de termes en \frac{1}{(X-b)^k}??

Posté par
perroquetre : decomposition en éléments simples sur R 20-04-08 à 14:43

Bonjour, mariemarie

Je reprends l'expression donnée par disdrometre:

3$ \frac{1}{(X-a)^m(X-b)^n}=\sum_{k=1}^m \frac{c_k}{(X-a)^k} +\sum_{j=1}^n \frac{d_j}{(X-b)^j}

Je détaille maintenant le raisonnement pour obtenir les coefficients c_k (le raisonnement seulement, pas les calculs )

On multiplie par   (X-a)^m  et on réalise un développement limité au voisinage de X=a:

3$ \frac{1}{(X-b)^n}=\sum_{k=1}^m c_k(X-a)^{m-k} +(X-a)^m\sum_{j=1}^n \frac{d_j}{(X-b)^j}= \sum_{k=1}^m c_k(X-a)^{m-k} + o\left((X-a)^{m-1}\right)

Donc, si on écrit le développement limité à l'ordre m-1:

3$ \frac{1}{(X-b)^n}=\sum_{k=0}^{m-1} \alpha_k(X-a)^{k}+o\left((X-a)^{m-1}\right)

on a l'égalité:   c_k=\alpha_{m-k}



Pour obtenir les coefficients  d_j  , on multiplie par   (X-b)^n  et on réalise un développement limité au voisinage de X=b.

Posté par
mariemariere : decomposition en éléments simples sur R 20-04-08 à 22:05

bonsoir, ok merci, je n'avais pas pensé à faire deux DL.


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