Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Décomposition en facteur premier
Bonjour, je suis en terminale S spé maths, et j'ai un devoir sur les nombres premier, notre prof a la réputation de faire des contrôles infaisable, j'y arrive plus ou moins mais là je sèche !
1/ A quelle condition équivalente sur les exposants des facteurs de sa décomposition en produit de facteurs premiers un naturel est-il un carré parfait ?
2/ On considère n qui est pas un carré parfait
a/ On suppose que 
n soit un rationnel (i.e. n = i/j, i/j est une fraction irréductible)
Montrer que la décomposition en facteurs premiers de i² comprend au moins un facteur d'exposant impair.
b/ En déduire que n est irrationnel
Pour la question 1 j'ai mis que les exposants de facteurs premiers de la décomposition d'un carré parfait en produit de facteurs premiers sont pairs
Ensuite pour la 2 je sèche complètement. Je peux déduire que n = n² et donc n = (i/j)² et donc n= i²/j²
j'ai réussi a faire apparaitre le i² mais après je sais pas quoi en faire.
Auriez vous des réponses à ce problème ? Merci 
Bonjour,
si n = a
b
....
n² = a2b2....
donc tu vois bien que réciproquement pour qu'un nombre soit un carré, il faut que les puissances des facteurs premiers soient toutes paires.
2/ si n = i²/j² 
nj² = i²
n n'est pas un carré donc nj² a au moins un facteur d'exposant impair (parce que si tout ses exposants étaient pairs, il serait un carré)
3/ donc nj² n'est pas un carré, donc il ne peut pas être égal à i² donc n ne peut pas s'écrire i/j et donc il est irrationnel.
Annuler
connectez vous