Bonjour

On te demande de le réduire sur C[X] ou R[X]?

Sur les deux.

Ben, su C[X] c'est trivial, comme tu l'as dit, une fois tombé sur le polynôme du second degré, tu cherches ses deux racines complexes et tu le décomposes.

Autre exercice...

Il faut démontrer que (X-1)^(n+2) + X^(2n+1) appartenant à R[X] est un multiple de X² - X + 1

J'imagine qu'il faut faire une récurrence mais comment... ?
J'ai déjà fait l'étape initiale qui est triviale mais après... c'est plus compliqué.

Bonjour,
Pas de récurrence. Cherche les racines complexes de X²-X+1 et montre qu'elles annulent le polynôme qui dépend de n.

bonjour,

tu sais que:
X²-X+10 mod(X²-X+1)
soit
X²X-1 mod(X²-X+1)

donc
X^(2n+1)X.(X²)^nX.(X-1)^n mod(X²-X+1)
donc
(X-1)^(n+2)+X^(2n+1)(X-1)^n((X-1)²+X)(X-1)^n(X²-X+1)0 mod(X²-X+1)

ce qui prouve la divisibilité.

voila.

>Philippe101 Joli!

Je trouve les racines effectivement... mais après, il faut appliquer la formule du binôme, c'est bien ça ?

ce fut un plaisir!

Ah... je n'avais pas vu la méthode de Philippe... qui est en effet très astucieuse mais pratique ! merci

C'est une méthode très rapide pour déterminer des restes dans des divisions de polynômes.
A retenir donc.

et en utilisant la méthode de Camélia... c'est un peu plus long n'est-ce pas ? mais j'aimerais bien y arriver... comment fait-on en utilisant la formule du binôme ?

Les racines de X²-X+1 sont:
z et son conjugué z* : z²=z-1

tu dois montrer que:
(z-1)^(n+2)+z^(2n+1)=0

(z-1)^(n+2)+z^(2n+1)
=(z-1)^(n+2)+z.(z²)^n
=(z-1)^(n+2)+z.(z-1)^n
=(z-1)^n((z-1)²+z)
=0

idem avec z*
on y arrive!

pas besoin du binôme!

Rebonjour à tous!
Mon idée était de remarquer que les racines de X²-X+1 sont les racines troisièmes de l'unité autres que 1, c'est-à-dire et de m'en servir pour montrer qu'elles annulent le polynôme. Bien sur, ça revient à peu près au même, et le calcul de Philippe est bien plus joli!