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Décomposition polynômes

Posté par
Simlf 15-02-22 à 16:48

Bonjour,

Je n'arrive pas à décomposer en facteurs irréductibles X^4+16 (dans R et C). Est ce que je peux utiliser les racines n-ieme de l'unité ? J'avais commencé à poser X^4=-16

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 15-02-22 à 16:54

Bonjour,

Dans \mathbb{R}, on peut écrire x^4+16=(x^2-ax+4)(x^2+ax+4)

et dans \mathbb{C}, X^4+16=x^4-16i^2

Posté par
philgr22re : Décomposition polynômes 15-02-22 à 20:09

Bonsoir ;dans  c'est faux lake...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition polynômes 15-02-22 à 20:09

Bonsoir

* Modération > Réponse effacée car contraire à l'esprit de l'île.
Extrait de A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI :
"le site n'est pas un distributeur de réponses toutes faites.." *

Posté par
philgr22re : Décomposition polynômes 15-02-22 à 20:13

Désolé!!!!Trop de fatigue!!!

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 15-02-22 à 20:57

Merci elhor_abdelali

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 15-02-22 à 20:58

Ouille !!

Posté par
Pirhore : Décomposition polynômes 16-02-22 à 09:07

lake @ 15-02-2022 à 16:54

Bonjour,

Dans \mathbb{R}, on peut écrire x^4+16=(x^2-ax+4)(x^2+ax+4)



personnellement dans ce cas , j'essaie toujours de faire apparaître une différence de carrés ce qui permet d'éviter une identification (qui ,ici, je le concède est très "gentille")

Posté par
Simlfre : Décomposition polynômes 16-02-22 à 13:07

Merci pour vos réponses
Donc dans C je peux considerer que la racine est 2 ?

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 16-02-22 à 13:13

x^4+16 est un polynôme de degré 4. Donc 4 racines complexes (éventuellement multiples mais pas là).

x^4-16i^2 est une différence de deux carrés et se factorise.

Posté par
bernardo314re : Décomposition polynômes 16-02-22 à 13:32

Bonjour,

Il me semble que partir de l'idée de départ de Simlf est plus "pédagogique" , oui  trouve les  4 racines en isolant modules et arguments de  -16  (les racines de l'unité sont effectivement utiles). Ensuite tu n'auras plus qu'à regrouper...

Posté par
Simlfre : Décomposition polynômes 16-02-22 à 14:24

Oui en effet, si j'ai bien compris votre message @bernardo314 fallait il poser :
X^4 = -16
z^4 = -1×16 soit r^4e^iteta = 16^iteta
Donc z = 16e^i×pi + 2kpi/4 ?

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 16-02-22 à 14:32

Oui, il faut bien avouer que bernardo314 n'a pas tort.

donc z^4=-16=16e^{(2k+1)\pi}

qui donne z=2e^{(2k+1)\dfrac{\pi}{4}} avec k\in[\![0,3]\!]

Tu n'as plus qu'à mettre les 4 racines sous forme algébrique.

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 16-02-22 à 14:45

J'ajoute que dans un premier temps, j'ai toujours un petit peu de mal à manger mon chapeau :

Citation :
il faut bien avouer que bernardo314 n'a pas tort.


J'aurais du écrire :

  il faut bien avouer que bernardo314 a raison.

Posté par
Simlfre : Décomposition polynômes 16-02-22 à 17:07

Désolée mais je ne comprends pas où est passé le i et comment vous êtes passé de l'écriture  de z^4 à z ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Décomposition polynômes 16-02-22 à 18:09

Bonjour,
Juste de passage.
Oui, lake va mordiller son chapeau :
Il a oublié des i dans les exposants.

Citation :
donc z^4=-16=16e^{(2k+1)i\pi}

qui donne z=2e^{(2k+1)i\frac{\pi}{4}} avec k\in[\![0,3]\!]

Posté par
carpediemre : Décomposition polynômes 16-02-22 à 18:29

salut

je suivais depuis le début ... mais me gardais d'intervenir pour l'instant mais maintenant que l'exo est quasiment fini et que Simlf est passé à un autre sujet je voudrais cependant faire une remarque :

je trouve dommage (et étonnant) de parler de racines n-ième de l'unité et de ne pas connaitre le carré de (1 \pm i)^2 qui me semble un "fondamental" en complexe tout autant que la relation i^2 = -1

ce carré s'apprend et se retient quasiment sans effort par la pratique (du calcul) et l'expérience tout autant que par le calcul mental ...

on a alors immédiatement :

z^4 + 16 = z^4 - 16i^2 = (z^2 - 2 \times 2i)(z^2 + 2 \times 2i) = [z^2 - 2 (1 + i)^2][z^2 - 2i^2(1 + i)^2]= ...

ou même directement :

z^4 + 16 = z^4 - 16i^2 = [z^2 - 2 \times 2i][z^2 - 2 \times (-2i)] = [z^2 - 2 (1 + i)^2][z^2 - 2(1 - i)^2] = ...

Posté par
lakere : Décomposition polynômes 16-02-22 à 19:51

Bonsoir Sylvieg,

Oui, j'ai avalé le chapeau, les i et tout reste
Ça ne me suffit pas : je vais aller au resto ce soir

Posté par
Razesre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 08:29

Bonjour,

Méthode 1:
Sur R,  tu peux commencer par chercher a, b, a',b' tel que:
(x^2+bx+c)(x^2+a'x+b')=x^4+16 qui est facile à résoudre. Puis finir par chercher les solutions de x^+bx+c=0 et  x^+b'x+c'=0 si elles existent.

Tu peux utiliser les résultats trouvés pour chercher des solutions sur C (c'est rapide).

Méthode 2:
Tu commence par chercher des solutions sur C. Tu utilise le fait que z^4+16=(z^2)^2-(4i)^2=... puis tu résoudre les équations du 2 ème degré sur C.  Tu obtiendra une expression de la forme : (z-z_1)(z-\bar {z_1})](z-z_2)(z-\bar {z_2})  puis (si les solutions sont complexes)  tu combiné les produits des expressions conjuguées pour revenir sur R

Méthode 3:
Par les racines de 4eme de -1 tu obtientune expression de la forme : (z-z_1)(z-\bar {z_1})](z-z_2)(z-\bar {z_2})  puis tu combiné les produits des expressions conjuguées pour revenir sur R

Posté par
Pirhore : Décomposition polynômes 17-02-22 à 09:12

puisque tout le monde met son grain de sel, je poursuis l'idée de mon post  du 16-02-22 à 9h07!

sur

x^4+16=(x^2+4)^2-8x^2=(x^2+4)^2-(2\sqrt{2}\,x)^2=(x^2+2 \sqrt{2}\,x+4})(x^2-2\sqrt{2}\,x+4)

Posté par
carpediemre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 10:03

Pirho : autant aller jusqu'au bout (enfin presque) :

x^4+16=(x^2+4)^2-8x^2=(x^2+4)^2-(2\sqrt{2}\,x)^2=(x^2+2 \sqrt{2}\,x+4})(x^2-2\sqrt{2}\,x+4) = [x + \sqrt 2)^2 - 2i^2] [(x - \sqrt 2)^2 - 2i^2] = ...

qui ne nécessite de ne connaitre que les identités remarquables apprises au collège ...

Posté par
Pirhore : Décomposition polynômes 17-02-22 à 12:44

carpediem: oui j'aurais pu, mais je ne répondais que dans

Posté par
carpediemre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 12:54

qui peut le plus peut le moins !! (disait mon regretté prof de math)

Posté par
Razesre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 13:21

Bonjour Pirho,carpediem,

J'ai répondu avec les méthodes générale qu'un étudiant à ce niveau devait connaître. Je n'ai rien calculé pour autant car c'est à Simlf de le faire.

Pour ce qui est de la méthode Pirho c'est une astuce dont l'ecriture paraîtra parachutée pour les novices mais importante à citer. Mais j'aurais écrit juste:  x^4+16=(x^4+8x^2+16)-8x^2

Posté par
carpediemre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 13:53

salut Razes

ce n'est pas si parachuté que ça ...

de manière plus générale on "sait" depuis le collège que a^2 + b^2 = (a \pm b)^2 \mp 2ab

pour peu que 2ab soit positif alors :

la forme (a + b)^2 - 2ab est une différence de deux carrés dans R
la forme (a - b)^2 + 2ab est une différence de deux carrés dans C

on choisira alors les signes qui nous conviennent selon le pb posé ...

Posté par
Pirhore : Décomposition polynômes 17-02-22 à 14:03

c'est bien ce qui me semble aussi, merci carpediem

Posté par
Simlfre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 16:08

Merci beaucoup pour vos réponses !

Posté par
carpediemre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 18:11

de rien

et effectivement connaitre les méthodes générales rappelées par Razes ...

Posté par
Razesre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 19:07

@carpediem,

Errata: j'ai dit que la méthode de Pirho, que je salue, paraîtra comme parachutée pour les novices car il y a une étape de sautée.  Et qu'elle est bonne à connaître et j'avais aussi oublié de la citer.

J'aurais aimé que Simlf continue au moins le calcul avec une méthode quelconque.

Posté par
carpediemre : Décomposition polynômes 17-02-22 à 19:33

lake avait donné et/ou complété les résultats auparavant ...


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