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déduire qu'une matrice est inversible
Bonjour, j'aurais besoin d'un petit éclairage sur un exercice pour montrer qu'une matrice est inversible
Je m'excuse d'avance pour l'écriture des matrices je n'ai pas trouvé comment faire pour bien les présenter
On nous demande en question 1 de calculer A² pour ça pas de soucis
A partir de A = 1 2
2 1
A² = 5 4
4 5
J'ai ensuite vérifié que la relation
A² - 2A - 3I 2 = O2
Donc j'arrive à
A²-2A-3I2 = 0 0
0 0
On me demande ensuite de déduire que A est inversible et que A-1 = 1/3 -1 2
2 -1
Pour montrer que A est inversible je crois qu'il faut montrer que A = I
en partant de A² - 2A - 3I = 0
Mais je suis bloquée à partir de là car je ne sais pas comment retrouver cette égalité.
Merci d'avance pour votre aide 
Merci pour la réponse, est-ce qu'il serait possible que tu détailles un peu plus ? (les maths ne sont pas trop mon fort 
)
Pour préciser on a une correction à la fin du poly qui nous donne la démarche suivante ...
A² - 2A - 3I = 0 
A(A-2I) = 3I
La déjà je suis perdue, comment récupère-t-on 2I dans la parenthèse ?
Puis A(1/3 (A-2I) = I => (A-2I)A = 3I 1/3 (A-2I)A = I
Donc A [1/3(A-2I)] = [1/3(A-2I) = I
et A-1 = 1/3 (A-2I)
Sachant que la 1ère ligne me pose problème, impossible de traduire la suite
Bachstelze nos messages se sont croisés je détaille l'énoncé dans ma réponse précédent celle là
Je ne comprend pas pourquoi on peut écrire :
A² - 2A - 3I = 0 A(A-2I) = 3I
Oui merci beaucoup,la demande de détail s'adressait à la réponse ludog mais ce que je ne comprend pas c'est l'étape où l'on passe de :
2A à 2I entre la 3ème et la 4ème expression ?
Désolé si mes questions tournent un peu en rond
J'ai une question qui je pense est "bête" ... comment sait-on que 2A = 2AI ?
Parce qu'avec cette info c'est clair que tout le reste est clair et que je comprend le passage de la 3ème à la 4ème ligne
I est l'élément neutre de la multiplication matricielle
C'est la matrice 1 0
0 1
A = 1 2
2 1
Donc 2A = 2 4
4 2
et 2AI = 2 4 1 0
4 2 
0 1
et du coup 2AI = 2 4
4 2
Donc c'est mon calcul qui me donne 2A = 2AI
C'est ça ? Ou il y a aussi une propriété ?
La définition d'un élément neutre, c'est que XI = IX = X pour n'importe quelle matrice X, il n'y a pas besoin de faire des calculs. C'est comme 1 dans les nombres réels (ou complexes).
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