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Déduire une équation différentielle d un problème concret !
Bonsoir tout le monde !
Voila j'ai vraiment besoin de votre aide pour un exercice que le prof nous a donné à faire pour demain, que lui même juge difficile (si vous aviez vu son état d'énervement aujourd'hui vous comprendriez que je n'ai plutôt pas intéret à venir en cours sans avoir rien écrit d'intelligent, ce qui est le cas actuellement).
Cet exercice se base sur un devoir que l'on avait fait et dont je vous expose l'énoncé essentiel :
"Une solution aqueuse dont la salinité est de "s" kg/l se déverse à la vitesse de "v" l/min dans un réservoir contenant initialement "V" l d'eau pure. On suppose le mélange homogène à chaque instant. Le mélange s'écoule du réservoir à la même vitesse de "v" l/min. On appelle m (ou m(t)) la quantité (masse) de sel présente dans le réservoir à l'instant t. On a bien sûr m(0)=0. Cette masse est exprimée en kg. Pour la dérivée m' de m en fonction du temps t, on emploiera indifféremment les notation (dm)/(dt) ou m'(t) ou même m'. On admettra que la fonction m est solution de l'équation différentielle (E) suivante: m' + (v/V)m = sv. on donne V=10litres, v=2l/min et s=0,3kg/l."
Ce qu'il veut nous faire faire c'est à partir de ce problème concret, déterminer l'équation différentielle (E) de l'énoncé. Il nous a donné quelques indications que voici :
"Se placer entre les instants t et t+dt (intervalle très petit). On considère une salinité constante entre ces deux instants. m désigne la masse de sel à l'instant t. La masse de sel à l'instant t+dt=m+dm. Il faut chercher à évaluer dm (cette variation s'est établie car du sel est arrivé et du sel est sorti; il faut évaluer les quantités). Le sel qui rentre a une salinité de 0,3kg/l, il faut calculer celle de celui qui sort.
masse de sel = salinité * volume (cette formule suppose que la salinité est constante, d'où l'intérêt de se placer en t+dt).
Il faut aboutir à (dm/dt) + (v/V)m = sv"
Donc voila je ne comprend pas tellement où il veut en venir ni même comment démarrer, j'ai écrit 1/2 page de brouillon mais c'est certainement n'importe quoi je ne sais même pas où je vais etc...
Si vous pouviez m'aider à comprendre pour que je puisse réussir cet exercice ça serait vraiment sympa.
Merci pour votre aide ! 
Bonjour,
Soit m la masse de sel au temps t dans le réservoir
La masse de sel qui rentre dans le réservoir pendant le temps dt est :
dme=svdt
La masse de sel qui sort du réservoir pendant le même dt, faisant l'hypothèse que le milieu est immédiatement homogène (càd on a une salinité s'=m/V) est :
dms= s'vdt = m/V*vdt
La variation de masse totale est donc dm=dme-dms
càd dm=svdt-m/V*vdt
soit encore dm/dt+v/Vm=sv
A partir de là, si mes souvenirs sont bons, il faut résoudre l'équation différentielle en 2 temps, sachant que sv=constante
On résoud d'abord dm/dt+v/Vm=0
Puis on en déduit la solution plus générale en considérant l'équation complète.
A toi de finir
Ok c'est bon j'ai compris merci pour ton aide !
La masse de sel à l'instant (t+dt) est V.S(t+dt) avec S(t+dt) la salinité du mélange à l'instant (t+dt).
On a: V.S(t+dt) = V.S(t) + s.dV - S(t).dV
Ce qui signifie: masse de sel à l'instant (t+dt) = mzsse de sel à l'instant t + le sel amené prendant l'intervalle de temps dt - le sel qui a fuit pendant l'intervalle de temps dt.
V.S(t+dt) - V.S(t) = s.dV - S(t).dV
V.(S(t+dt) - S(t)) = s.dV - S(t).dV
V.(S(t+dt) - S(t))/dt = s.dV/dt - S(t).dV/dt
Et dV/dt = v la vitesse d'arrivée et de fuite.
V.(S(t+dt) - S(t))/dt = s.v - S(t).v
Si dt -> 0, (S(t+dt) - S(t))/dt est la dérivée de S(t), qu'on notera S'(t)
--> V.S'(t) = s.v - S(t).v
V.S'(t) + S(t).v = s.v
Or S(t) = m/V et S'(t) = m'/V -->
V.m'/V + (m/V).v = s.v
m' + (v/V).m = s.v
Et voila établie l'équation différentielle qui avait été annoncée.
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Avec V = 10 et v = 2 et s = 0,3 (m' sera alors kg et les temps en minutes)
m' + 0,2.m = 0,6
Solution de l'équation avec le second membre = 0:
m' + 0,2.m = 0
p = -0,2
m = A.e^(-0,2.t)
Solution particulière de l'équation avec second membre: m = 3
Solution générale:
m = 3 + A.e^(-0,2.t)
et avec m(0) = 0 -->
0 = 3 + A
A = -3
On a finalement: m = 3.(1-e^(-0,2t))
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Sauf distraction.
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