Salut,

c'est le même problème qu'ici mais en plus général:

Matrices nilpotentes

Ta solution est compliquée?

Bonjour

J'aimerais bien voir la solution!

Je voulais attendre un peu pour ne pas orienter les gens vers une même piste que la "solution" que j'ai . Mais comme je vois qu'on a déjà étudié la question ici je vais écrire ma ""solution"" .

Avant cela dans le lien je signale qu'il y a une faute dans le début de calcul de camélia : une nilpotente n'est pas semblable à une  Jk , il peut y a voir plusieurs blocs de  Jk !

Bref : notons  N(n,q) le cardinal des nilpotentes de taille  n  sur le corps fini Fq. L'idée serait de calculer de deux manières différentes le cardinal de  { M, v1,..., vn}  où  M  est nilpotente et  v_(i+1)=Mv_i  avec  v_i  des vecteurs. Comme  v_1  peut être pris de  q^n  façons différentes, il est clair qu'on a  N(n,q)q^n  éléments à cet ensemble.

Ce qui me pose problème c'est le deuxième comptage ....voir message suivant

On se propose alors de démonter par récurence sur  n  que  N(n,q)= q^(n²-n) .

Si j'ai bien pigé on va remarquer d'abord que si  M  est nilpotente alors (v1,..., vn)  peut en fait s'écrire  (v1,..., vr, 0,..., 0)  avec  v1,.., vr  libres . Ca c'est encore clair r est plus petit que l'indice de nilpotence. Ensuite on va sommer sur  r (ou sur  v1,..,vr) ??  et calculer le nombre de  M  correspondant à ces vecteurs fixés devrait y en avoir  N(n-r)q^(r(n-r))  et c'est LA que je pige plus !!

Merci .

Ca y est je sais faire (enfin on m'a donné une solution) !

Bravo! Ne peux-tu pas la partager avec nous?

Si mais c'est tellement mieux de se faire prier !

Lemme 1 . Si  u  est un endomorphisme de E il existe un unique couple
(F, G) se sous-espace vectoriels de E  supplémentaires et stables par  u  tels que  u/F  soit inversible et  u/G  soit nilpotent.

Preuve  Pmin,u(X) =  X^d Q(X)  où  Q(0) est non nul, on utilise alors le théorème de décomposition des noaux . F = Ker Q(u)  et  G = Ker u^d.
L'unicité est claire et là je dois partir la suite plus tard.

Lemme 2  On calcule  G(n) le cardinal des matrice inversibles dans  Fq.
Preuve : on compte les bases ça fait  G(n) = (qⁿ-1)(qⁿ-q)....(qⁿ-q^n-1.

Je note alors  N(k) le cardinal des matrices nilpotentes de taille k

Maintenant on va compter de deux manières le cardinal de  Mn(Fq) , il a clairement  qⁿ² éléments.^
Il a aussi autant d'éléments que d'endomorphismes sur (Fq)ⁿ et donc autant que de décomposition d'endomorphismes (F,G) d'après le lemme 1.

A suivre...

On va donc sommer sur  k = dim G ,  il y a  G(n)/G(k)G(n-k)  décomposition possible de l'espace en somme directe de deux espaces vectories  F + G  (prendre un système libre de  n-k vecteurs divisé par le nombre de base G(n-k) qui donnent le même sous-espace et ensuite compléter la base avec  k  éléments restant et diviser par G(k) ouf !).
Quand cette décomposition est fixée il y a  G(n-k)N(k)  couple d'endomorphismes (inversibles , nilpotents).
D'où en résumé   qⁿ² = Somme_k (G(n)N(k)/G(k)  (k variant entre 0 et n  avec  G(0)=1)  d'où    qⁿ²/G(n) - q^(n-1)2/G(n-1)=N(n)  après simplification on obtient  N(n)= q^n(n-1).

Bonjour lolo217

J'ai enregistré et je lirai à tête reposée, mais de toute façon, MERCI!