Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Définir sin dans R^n

Posté par
Ciramor 22-06-24 à 09:28

Bonjour,

Je sais que si on se donne deux vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ non nuls de $\mathbb{R}^3$ , et $\theta$ l'angle entre ces deux vecteurs, alors on a la relation $|\sin(\theta)|= \frac{\lVert \vec{u} \wedge \vec{v} \rVert}{\lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert}$ .

J'aimerais savoir s'il est possible d'avoir une formule du même genre pour relier le sinus de l'angle $\theta$ entre $\vec{u}, \vec{v}$ avec les ces vecteurs dans $\mathbb{R}^n$ pour $n \geq 4$ .

Merci d'avance !

Posté par re : Définir sin dans R^n 22-06-24 à 10:20

Typiquement, si
$a_1, \dots a_n$ $b_1, \dots b_n$ sont les coordonnées respectives de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , je trouve:
$\sin ^2(\theta)=1- \cos^2(\theta)= \frac{\lVert \vec{u} \rVert^2 \lVert \vec{v}\rVert^2 -(\vec{u} \cdot \vec{v})^2}{\lVert \vec{u} \rVert^2 \lVert \vec{v} \rVert^2}=\frac{A}{\lVert \vec{u} \rVert^2 \lVert \vec{v} \rVert^2}$ où

$A= (\sum_i a_i^2) (\sum_j b_j^2) - (\sum_k a_k b_k)^2=\sum_{i \neq j} a_i^2 b_j^2 -2\sum_{i<j} a_i a_j b_i b_j=\sum_{i<j} (a_i b_j-a_j b_i)^2$

et l'expression de $A$ coïncide avec $\lVert \vec{u} \wedge \vec{v} \rVert$ pour $n=3$ .

Mais je ne sais pas si on peut écrire autrement ce $A$ pour $n \geq 4$ en fonction de $\vec{u}, \vec{v}$ .

Posté par re : Définir sin dans R^n 22-06-24 à 12:36

Le produit vectoriel n'existe pas en dimension supérieure à 3. Par un heureux hasard, il coincide avec une autre notion, qui s'appelle le produit extérieur et qui s'obtient en quotientant l'algèbre tensorielle (T(E), \otimes) par un certain idéal. On obtient une algèbre extérieure $\Lambda(E)$ qui a un produit interne noté $\wedge$

Wikipédia t'explique bien la construction.
Algbère tensorielle (paragraphe "Construction" surtout) :
Algèbre extérieure (à partir de Formal definition surtout) :

Je te spoile un peu la suite, mais c'est un truc magique que tu utilises instinctivement quand tu manipules des formes différentielles (dxdydz, dudv, etc). D'ailleurs, toutes les équations de Maxwell se résument à deux équations avec ce formalisme : dF = 0 et d*F = J.

Mais pour ce qui t'intéresse, quand tu fais le produit de l'image de n vecteurs formant une base, un facteur émerge naturellement, et c'est le déterminant de ton application linéaire. Et c'est ça qui généralise la relation que tu as écrite au sujet de la norme du produit vectoriel.
Mais au delà de la dimension 4, on ne peut plus vraiment parler du sinus d'un angle solide, parce que le produit extérieur n'est plus nécessairement dirigé dans LA direction orthogonale, mais il a peut-être plusieurs composantes dans des directions orthogonales

Posté par re : Définir sin dans R^n 22-06-24 à 15:26

Bonjour,
Pour en revenir à la question de départ sur le sinus de l'angle de deux vecteurs dans $\Large \mathbb R^n$ , ça marche en fait comme pour $\Large n=2$ ou $\Large n=3$ .
À savoir, étant donné deux vecteurs décomposés dans la base canonique $\Large v=\sum_{1\leq i \leq n}a_ie_i$ et $\Large w=\sum_{1\leq i \leq n}b_ie_i$ , on calcule leur produit extérieur $\Large v\wedge w =\sum_{1\leq i<j\leq n}c_{i,j} \; e_i\wedge e_j$ où $\Large c_{i,j}$ est le déterminant $\Large \begin{vmatrix} a_i&b_i\\a_j&b_j\end{vmatrix}$ . Le carré du sinus de l'angle de $\Large v$ et $\Large w$ est $\Large \dfrac{\Vert v\wedge w\Vert^2}{\Vert v\Vert^2\;\vert w\Vert^2}$ , où $\Large \Vert v\wedge w\Vert^2=\sum_{1\leq i<j\leq n} c_{i,j}^2$ .

Posté par re : Définir sin dans R^n 23-06-24 à 20:38

Bonjour à tous les deux,

Merci pour vos réponses instructives !

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