Salut soucou,

tu te fais une montagne d'une souris!
Un axe c'est une droite, rien de plus!
C'est vrai que souvent on le gradue, mais il n'y a (à ma connaissance du moins) aucune théorie sous-jacente.

D'accord, mais c'est davantage sur l'orientation que sur la graduation que je me pose des questions.

C'est par exemple en essayant de faire ce sujet que je coince radicalement (d'ailleurs ils ne sont pas du tout rigoureux envers les notations : confondre singleton et point, maoui).

C'est juste pour m'améliorer en géométrie mais si ça ne tombe pas très souvent au concours que je me pose de telles questions !

Ah, je comprends mieux, c'est clair que si le sujet porte justement sur cette notion, ça change tout!
En voilà un sujet qu'il est beau!
Pour les axes, rien de méchant, c'est juste un couple (droite, vecteur directeur unitaire).
Il y a donc deux axes par droite.

Voici le corrigé (succinct) de la partie I):




IA)A un vecteur u de norme 1 de P et à un réel k on peut associer de façon unique le vecteur u+kK.

On a clairement affaire au cylindre X²+Y²=1 (il suffit d'utiliser le fait que (I,J,K) est une base orthonormale et d'écrire), d'axe de révolution (ici le mot est à prendre en son sens naïf) l'"axe" des Z, de génératrices les droites d'équations et de parallèles les cercles d'équation X²+Y²=1 dans les plans Z=k parallèles au plan Z=0.




I)B)1)Il suffit d'écrire



en utilisant la bilinéarité du déterminant.



De même en identifiant le point m au vecteur Om et le projeté orthogonal m₀ au vecteur Om₀ on obtient, toujours par bilinéarité:





selon que la base (Om₀;w) est de même orientation (directe) ou non que la base (i;j).



Enfin notons et montrons que

COmme ils sont tous deux dans l'orthogonal de w, ils sont déjà colinéaires.
Comme w est unitaire, ils ont même norme.
Enfin pour prouver qu'ils ont même sens, on calcule



(car la base est orthonormée directe),

et ce résultat est aussi égal, comme on l'a vu, à


Comme m₀ et w ne sont pas colinéaires, on en déduit que ont aussi même sens (ou même qu'ils sont égaux directement).
Ils sont donc égaux.



I)B)2)

Rappelle-toi bien que vecteurs et points ont été identifiés, de sorte que le "point" appelé -k.v(thêta) peut être vu comme le point X tel que OX=-k.v(thêta).

Un petit dessin suffit alors à se convaincre que le nombre cherché, qui est la distance ou l'opposé de la distance de 0 à ce point X, est égal à plus ou moins |k|.
De plus on voit que si k est positif, on peut garder |k|, que si k est négatif, il faut multiplier |k| par -1, et que si k est nul, le nombre cherhé est nul (car l'axe coïncide avec l'axe (u(theta)+R.u(theta);u(theta)).

Dans tous les cas on obtient donc:

La droite en question est caractérisée par son vecteur normal v(theta) et par le point -k.v(theta) par lequel elle passe.D'où l'équation cartésienne:



soit:





I)B)3)

Il est clair que H est bien définie car w est de norme 1 et h_lambda est réel.

L'équation précédente s'écrit encore:




Pour la surjectivité, étant donné w de norme 1 et un réel h_lambda, il existe theta unique tel que u(theta)=w, alors l'axe de support la droite d'équation et dirigé par u(theta) convient clairement.


Pour l'injectivité elle est acquise puisque si deux axes ont même vecteur directeur unitaire u(theta) et même h_lambda, elles ont aussi même v(theta) (image de u(theta) dans le quart de tour direct de centre l'origine), donc (*) donne la même équation pour chacune d'entre elles.Il est clair que les axes associés sont encore les mêmes puisque le vecteur u(theta) a été supposé le même.

Pour la construction de H^-1(M), rien de plus simple, on translate l'origine du vecteur -k.v(theta), ce qui revient à construire la perpendiculaire à la droite 0+R.w passant par 0.Comme k>0, on tombe sur un point du demi-plan x>0.

L'axe obtenu passe par ce point et est dirigé par w.




Tigweg

C'est bien gentil mais j'en demandais pas autant. J'espère d'ailleurs que de tels sujets ne tombent pas souvent au concours car c'est assez rebut quand même .


Merci beaucoup.

Avec plaisir

Ca paraît un peu barbare comme ça mais finalement quand on fait abstraction des notations et qu'on se met à dessiner, tout tombe de suite.