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Définition d'une application différentiable
Bonjour,
j'ai un petit souci dans ma définition d'une application diff.
On dit que f est diff, f étant défini de U dans V, avec U ouvert de et V ouvert de
, si :
Dans la suite du cours, le prof note que le est tel que
et cela est possible car U est un ouvert.
Je ne comprend pourquoi cela est possible ?
Parce qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points: il contient une boule ouverte de centre ce point. Donc tu peux trouver une boule ouverte (donc un h) contenue dans U.
Salut tout le monde, 
jeanseb >> Ok pour la propriété de l'ouvert. Mais le prof a noté "" alors qu'en principe c'est "
".
Je raconte que des conneries? 
Alors moi j'ai ceci :
Il existe donc un r>0 tel que B(a,r) soit incluse dans U.
si a+h est B(a,r) alors ça sera Ok, car B(a,r) est incluse dans U, donc on aura bien a+h dans U.
donc on regarde ||a+h-a||=||h||.
Donc si on prend h en norme suffisament petite, cad tel que ||h||<r, on aura bien que a+h est dans U.
correct ?
Il me semble que ce que tu dis est juste H_aldoner. Ce qui me tracasse (enfin oui, j'exagère un peu là 
) c'est que dans ton premier post, ton prof affirme que quelque soit h dans R^n on a a+h dans U et donc a priori même plus grand que r...
Oui, c'est la définition des ouverts dans les espaces métriques en général ça. Donc pas de souci, on est d'accord dessus.
Oui, en faite le premier coup ou il utilise la définition il met bien "pour tout". Après quand il définit les dérivées directionnelles, il écrit toujours pour tout et il dit "tel que a+h soit dans U, ce qui est possible car U est ouvert".
Ce que j'aimerais comprendre c'est est-ce que je ne raconte pas de connerie en disant qu'effectivement a+h est U à condition que h soit en norme plus petite que r.
Ce que j'aimerais comprendre c'est est-ce que je ne raconte pas de connerie en disant qu'effectivement a+h est U à condition que h soit en norme plus petite que r.
Là, je suis presque sur: tu ne racontes pas d'ânneries.
Par contre pour le reste, je laisse les autres t'aider: je comprends pas plus que toi.
Bonjour
en fait dès ta première définition, tu es bien obligé de ne garder que les h tels que a+h soit dans U, si tu veux pouvoir calculer f(a+h) , puisque f est définie sur U .....
Non il y'a une erreur, mais surement que c'est pour tout h dans une certaine boule plutôt ou pour tout h dans R^n, et pour un certain e>0 tu considères x+eh
Re-,
il existe r tel que ta phrase soit vraie, oui, parce que tu veux prendre n'importe quelle direction (c'est ce que "matérialise" h) mais tu veux que a+h soit encore un point en lequel f soit définie.
Tu sais que ceci est possible car U est ouvert.
Voila ce que j'avais compris :
U est un ouvert de donc quelque soit x dans U, il existe un r>0 tel que B(x,r) est incluse dans U par définition. C'est donc vrai pour x=a et donc B(a,r) est incluse dans U.
On veut que f soit définie en a+h, donc a+h soit dans U.
Si a+h est dans B(a,r) on aura bien ce que l'on veut.
Mais a+h dans B(a,r) équivaut à ||a+h-a||<r cad ||h||<r.
Donc si ||h||<r alors a+h dans U.
Salut,
De toute façon ici le h n'a comme vocation que de tendre vers 0 et pour un h de norme assez petite il sera toujours dans ton ouvert. L'important dans le h n'est pas sa norme mais sa direction.
Il est donc en effet possible que a+h soit dans U, si l'on fait en sorte que h soit en norme plus petite qu'un certain r>0.
Ok!
Donc je retiens qu'il est possible que a+h soit dans U, car ce dernier est ouvert (il suffit que h soit en norme "petite")
tu peux même dire "suffisamment petite", ce qui rappelle le caractère relatif de la "petitesse" .... ça dépend de où est a par rapport au "bord" de U, en gros.
oui, car si a est "loin des bords" de U, la norme de h n'aura pas besoin d'être si petite que ça pour que a+h reste dans U
imagine U comme une marguerite avec a au centre du coeur : si tu pars dans la direction d'un pétale, tu peux avoir une norme de h assez grande, mais si tu pars entre deux pétales, tu es limité au coeur de la fleur. il suffit que norme de h soit inférieur au rayon du coeur pour que a+h soit dans la marguerite, mais ce n'est pas nécessaire ....
Plus simple imagine que ton ouvert U soit la reunion disjointe de deux boules ouverts alors prend un point dans la première boule, pour h de norme plus petite que le rayon alors a+h sera dnas la boule...mais il existra certains h de norme plus grande tel que a+h soit dnas le seconde boule...
si ||h|| < rayon du cercle rouge, a+h est dans la marguerite
ce n'est pas nécessaire : le a+h représenté est dans la marguerite sans que ||h|| ne respecte cette condition
J'ai essayé Rodrigo :
Je prend (on prend U comme union de la boule B de centre a et de rayon r et de la boule B2 de centre a' et de rayon e)
si ||h_1||<r alors est dans U. Mais ce n'est pas necessaire car on ||h_2||>r et pourtant
dans U.
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