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définition de l'inversion de pôle O et de puissance k

Posté par
sgu35
29-05-20 à 14:32

Bonjour,
j'ai une petite question sur un exercice de géométrie/complexes :

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O,\vec{i},\vec{j}), et on note P^*=P\{O}. On donne k>0, et on étudie l'application f: P^*->P^* qui au point M de coordonnées polaires (r,\theta) associe le point M' de coordonnées polaires (k/r, \theta). On dit que f est l'inversion de pôle O et de puissance k.

Question : Montrer que f est une bijection de P^* dans lui-même, et préciser sa réciproque.

Je cherche notamment à montrer que le point M' ne dépend pas du système (r,\theta) de coordonnées polaires de M, ce qui montrerait que f est bien définie.

Posté par
Glapion Moderateur
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 14:59

Bonjour, ça n'est pas ce qu'on te demande pourtant ?

f est bien défini, pour tout M pas à l'origine, on trouve bien un point image unique.
Fais la réciproque.

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 15:33

Il faut montrer que l'image d'un point M de P^* par f est unique, je pense.

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 15:35

Et comme un point M est entièrement défini par le couple (r,\theta) de ses coordonnées polaires, f est unique, non?

Posté par
Glapion Moderateur
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 16:48

un point M' tu veux dire ?

Posté par
matheuxmatou
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 17:20

bonjour

sgu35 : tu confonds la définition d'une application (tout point de P* a une image unique... ce qui est trivial) avec "bijection"  : tout point de P* a un antécédent unique

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 18:16

Non, pour la bijection je montre que f(M')=M donc que f est bijective et est sa propre bijection.
Ce que je demandais, c'était pourquoi f est bien définie, vis-à-vis du choix du système de coordonnées polaires de M.

Posté par
Glapion Moderateur
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 18:43

Comme te l'a très bien dit matheuxmatou tout point de P* a une image unique... ce qui est trivial, et donc ça suffit à ce que l'application soit parfaitement définie.
Peu importe le système de coordonnées, on aurait pu définir l'application en coordonnées cartésiennes ou avec des complexes ou encore géométriquement, dès que tout point de l'espace de départ a une image bien définie, ça suffit à définir l'application.

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 20:11

Citation :
Je cherche notamment à montrer que le point M' ne dépend pas du choix du système (r,\theta) de coordonnées polaires de M

Qui pourrait m'expliquer ça?

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 20:13

J'ai oublié :
Pour M \in P^*,
Je cherche notamment à montrer que le point M' ne dépend pas du choix du système (r,\theta) de coordonnées polaires de M.

Posté par
Glapion Moderateur
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 23:16

Ben oui, OM*OM' = k c'est vrai indépendamment du système de coordonnées.

Posté par
matheuxmatou
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 29-05-20 à 23:27

sgu35

je ne comprends pas ce qui te chagrine !

M'=f(M) ssi :

O,M,M' sont alignés
O[M;M']
OMOM'=k

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 30-05-20 à 14:26

On pourrait résonner comme suit :
Pour tout point M \ne O, son module est strictement positif, ce qui permet de définir son image M' de module k/r.  Donc l'application f est bien définie.

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 30-05-20 à 14:57

Je ne comprends toujours pas ce que veut dire :
Le point M' ne dépend pas du choix du système (r,\theta) de coordonnées polaires de M.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 31-05-20 à 08:41

Bonjour,

Citation :
Le point M' ne dépend pas du choix du système (r,\theta) de coordonnées polaires de M.
C'est une question que tu te poses ou qui est écrite dans l'énoncé de l'exercice ?

Le point M' peut être défini par \; \vec{OM'} = \dfrac{k}{OM^{2}}.\vec{OM} .

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 31-05-20 à 11:59

C'est écrit dans la correction de l'exercice et c'est aussi une question que je me pose.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 31-05-20 à 12:12

As-tu compris que la définition de l'énoncé avec (r,\theta) est équivalente à \; \vec{OM'} = \dfrac{k}{OM^{2}}.\vec{OM} ?

Comme déjà dit par Glapion, la question que tu poses

Citation :
Le point M' ne dépend pas du choix du système (r,\theta) de coordonnées polaires de M.
n'a rien à voir avec le fait que f est bien définie.

Posté par
etniopal
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 01-06-20 à 16:17

Pourquoi ce  " bien définie "  ?  
Une application est " définie " ou elle ne l'est pas !  

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 01-06-20 à 17:56

C'est du jargon mathématiques.

Posté par
sgu35
re : définition de l'inversion de pôle O et de puissance k 12-06-20 à 17:46

Citation :
Et comme un point M est entièrement défini par le couple (r,\theta) de ses coordonnées polaires, f est unique, non?

Je voulais dire f est bien définie au lieu de f est unique.



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