Bonjour à tous,

je suis actuellement en train de plancher sur les preuves concernant le cardinal d'un ensemble fini. J'aimerai avant de passer à la suite de mon cours bien comprendre la preuve de ce que l'on a appelé Lemme 1 (justification du cardinal) : "S'il existe une bijection entre [[1,n]] et [[1,m]] alors n=m."
(Je vais écrire les éléments de la preuve en gras et mes commentaires seront faits en caractères normaux)


Le rôle de n et m est ici symétrique donc on peut supposer n < m.

On raisonne par récurrence sur m*. Démontrons la propriété : P(m) : "n [[1,m]], s'il existe une bijection : [[1,n]] [[1,m]] alors n=m"

Jusqu'ici je comprends bien. Pour m=1, on a 1 n m = 1 donc n = m = 1 (dites-moi si je me trompe). C'est pour la suite que j'ai du mal.

Supposons P(m) vraie pour un certain m* et démontrons P(m+1). On suppose donc qu'il existe une bijection : : [[1,n]] [[1,m+1]] pour un certain n[[1,m+1]].

Notons k[[1,n]] l'antécédent de m+1 par . Construisons une bijection de [[1,n]] dans lui même qui permute k et n. Il suffit de poser :
(i) = i si ik,n
        =n si i=k
        =k si i=n

En faisant tout ça, je ne comprends pas du tout ce que l'on cherche à faire. Pourquoi construire une bijection de [[1,n]] dans lui-même ? Pourquoi doit-on permuter k et n ?

On vérifie aisément que l'application ainsi construite est bien une bijection de [[1,n]] dans lui-même. Alors =^-1o est une bijection de [[1,n]] dans [[1,m+1]] telle que : (n) = m+1.

Formons la restriction ' de au départ sur [[1,n-1]] et à l'arrivée sur [[1,m]]. On vérifie aisément que cette restriction est bien définie et qu'elle est bijective. Mais l'hypothèse de récurrence nous dit alors que n-1=m. C'est le résultat cherché.

La, même problème, je ne comprends pas ce qu'on cherche à faire. Pourquoi on "sort" cette application , pourquoi doit-on la restreindre ? Comment "vérifier aisément" qu'elle est bien définie et bijective ?



Bref, je suis totalement perdu et je crois avoir besoin d'aide pour clarifier tout ça :s