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Définition formelle Bijection
Bonjour, de manière sale, on peut définir la bijection comme suit :
-> Soit f une application de E dans F, f est dite bijective si :
y 
F, 
! x E, y = f(x).
Cette définition est sale, à mon sens, car la négation de "il existe", sous entendu "il existe au moins un", est "il n'existe pas".
Celle-ci serait-elle plus agréable à l'oeil ?
-> Soit f une application de E dans F, f est dite bijective si :
y F, x E, y = f(x), x' E, x' 
x 
f(x') f(x).
Qu'en dites-vous ?
En fait, comme la bijection est l'intersection de la surjection et de l'injection, j'ai tout simplement imbriqué leurs deux définitions, respectivement :
y F, x E, y = f(x) ;
et
(x, x') E, x' x f(x') f(x).
Deuxième question :
Dans le cas de l'injection et de la bijection, x x' équivaut-il bien à f(x) f(x') ?
(Pour moi, oui, mais avec les histoires de continuité et limite, il y a peut être des subtilités qui m'ont échappé)
Merci par avance !
X
Bonjour Xenomorph
Première question :
Je pense que quelque chose t'a échappé : dans la définition que tu qualifies de "sale", n'oublie pas qu'il y a (le point d'exclamation) qui signifie "il existe un unique" et non pas "il existe" tout court (c'est-à-dire qu'il existe et qu'il est unique).
Deuxième question :
Dans le cas de l'injection et de la bijection, x
x' équivaut-il bien à f(x) f(x') ?Oui, c'est vrai pour l'injection (de par la définition) et donc pour la bijection.
Ceci dit, en passant, l'équivalence est superflue car l'un de sens est toujours vrai pour une application (si
Kaiser
Salut,
Merci d'avoir répondu !
En fait, c'est justement le point d'exclamation qui me frustre ! 
(Si j'étais passé à côté je ne l'aurais pas recopié 
)
C'est justement le sens de ma phrase : la négation de "il existe", sous entendu "il existe au moins un", est "il n'existe pas".
Ici, la négation se réfère au point d'exclamation !
Concernant l'histoire de l'équivalence : j'aurais dû y penser !
Alors, quoi que tu penses de ce point d'exclamation, ma deuxième définition se passant de celui-ci est-elle valable ? 
Merci encore de ta réponse !
X
bonsoir
la négation de "il existe" est "pour tout" .. !
si tu définies une application bijective comme une application surjective ET injective , bien sure que c'est valable ...
(sans l'équivalence..)
(Si j'étais passé à côté je ne l'aurais pas recopié
)OK, parce que ça semblait ambigu vu la formulation.
Ici, la négation se réfère au point d'exclamation !
Justement, on doit tout nier et pas uniquement le "il existe" et donc nier le "il existe un unique".
La négation est la suivante : "il n'existe pas ou il en existe plusieurs"
Alors, quoi que tu penses de ce point d'exclamation, ma deuxième définition se passant de celui-ci est-elle valable ?
oui, c'est correct.
Kaiser
Salut,
Désolé d'enfoncer le bouchon, mais je crois qu'il y a eu un (seul) quiproquo là-dessus :
Justement, on doit tout nier et pas uniquement le "il existe" et donc nier le "il existe un unique".
La négation est la suivante : "il n'existe pas ou il en existe plusieurs"
-> Dans mon message, je parlais du symbole
= "I existe" (c'est dans mon poly, ça doit être vrai ), soit "avec les mains" : = "
1"
-> Quand celui-ci est suivi d'un "!" :
! = "Il n'existe pas", ou encore ! = "< 1" ;
Mais jamais
! = "Il existe un unique" ou "= 1".
Je ne sais pas si je me suis mal expliqué ou si j'ai mal compris l'un de tes messages, mais ce dernier résumé est-il correct ?
Merci encore !
X
on est d'accord sur le fait que : signifie « il existe au moins un »
mais
suivi de ! ( ! ) signifie « il existe un et un seul » !
Bonjour à tous
mdr_non vient de résumer la situation.
xenomorph > il y a effectivement eu un quiproquo ; j'étais loin de me douter que tu pensais que le "!" était une négation.
Kaiser
Ah d'accord !
Je croyais effectivement que le "!" était une négation, l'ayant déjà rencontré sous cette forme dans certains langages, informatiques notamment
Comme quoi il ne faut jamais faire d'analogies, ne jamais lire trop rapidement...
Donc la notation ! est formelle et propre pour désigner "il existe un unique" ?
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