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degré
Bonjour à tous,
Petit problème qui commence à me titiller si vous pouviez m'aider je vous en remercierai.
Je dois montrer que :
n[X] est stable par f.
On note Fn l'endomorphisme induit.
Je sais que n[X] est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans et qu'il à un dégré inférieur ou égal à n.
et donc que je doit montrer ça :
P
n[X], f(P)n[X].
Pour prouver ça j'ai pensé au degrés. Puisque, dans l'énoncé, je sais que : P[X], f(P)=Q+XR
et que P(X²) = QT+R (deg(R)<deg(T) division euclidienne par T) donc il faut que je cherche les degrés de Q et de R.
Mais je ne connais pas le degré de P(X) ni de P(X²) donc je fais comment ? A moins que je puisse le déduire des données précédentes.
Tout aide est la bienvenue.
Merci d'avance.
Etaine92
tu peut proceder par récurrence 0 est stable par f
suppose que toules i sont stables juusqu'à n-1
et tu t'interesse donc à voir si p=Xn est stable.
on considère l'pplication f définie par :
P[X] f(P)=Q+XR
Et le prof nous a fortement conseillé le faire avec les dégrés mais je sèche... :/
T est un élément de [X] de dégré n et n
*
et sa relation avec Q, R, et P(X²) :
Q et R : quotien et le reste de la division euclidienne de P(X²) par T
deg(R)<deg(T) : P(X²)=QT+R
Voilà toute les indication sur T
ok donc tu as la récurrence que je t'ais dite
si tu prends p=xn alors p(x²)=x2n
si tu effectue la dision euclidienne de p par t
deg(p)=2n=deg(t)+deg(q) donc deg(q)=n
deg(r)<deg(T) donc deg(r)<n
tu as f(xn)=Q+XR
deg(f(xn))=n au maximum
car deg(q)=n est deg(XR)
n
donc
n[x] stable par f
Tu dis :
deg(p)=2n=deg(t)+deg(q)
Mais il manque R non ? puisque P(X²)=QT+R et quand tu dis deg(p) c'est bien deg(P(X²)) ?
je suis d'accord que deg(QT)=deg(Q)+deg(T) mais que faison nous du + R ? on peut faire comme s'il n'existait pas ? et pourquoi ?
pardon c'est bien deg(P(X²)
tu as obligatoirement
deg(R)< deg(T)=n dans une division euclidienne donc le deg(r)<sn donc il n'intervient pas
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