Bonjour,

La représentation irréductible de G ne vérifie-t-elle pas une condition portant sur H ? Sinon on ne voit pas bien effectivement la justification de cette propriété. Il s'agit selon toute vraisemblance d'associer la représentation à un sous groupe de H, en regardant bien les définitions.

Bonsoir, merci pour votre réponse.

Je ne vois pas quelle condition une représentation irréductible de G devrait avoir en rapport avec en H.
En cherchant sur internet (je ne trouve rien dans mon cours ni dans les TDs), je trouve des explications qui parlent de composantes isotypiques et de représentations induites, et je ne sais pas ce que c'est... Je suis un peu perdu.

Une condition de stabilité sur H ?

Si a est une représentation irréductible de G, alors sa restriction à H est une représentation de H de même degré.

Si cette restriction est irréductible, alors comme H est abélien, elle est de degré 1, qui divise l'indice de H dans G.

Sinon, je ne sais pas comment faire.

Je ne vois pas d'autres façons de faire.

Tout en bas de cette page (normal = distingué):

"En cherchant sur internet (je ne trouve rien dans mon cours ni dans les TDs), je trouve des explications qui parlent de composantes isotypiques et de représentations induites, et je ne sais pas ce que c'est... Je suis un peu perdu."

Je parlais exactement de la partie que vous m'avez envoyé.

Mais comme je l'ai dit, ils utilisent des notions que je n'ai pas vues en cours... Il n'y a pas d'autres façons de faire ?

Ah, OK. Désolé, je n'ai pas d'autre idée.

Merci quand même pour votre aide !

En plus, la démonstration sur wikipédia montre d'abord que le degré de la représentation divise l'indice du centre de G dans G, puis le résultat voulu, alors que dans mon DM je dois faire l'inverse, donc ça ne convient pas...

Une autre idée, mais ça n'est pas clair qu'elle débouche. On a une suite exacte
1 -> H -> G -> G/H -> 1
Peut-on tirer quelque chose de son image par la représentation linéaire a ?

Si a est une représentation irréductible d'espace vectoriel V, alors il n'existe pas de sous espace vectoriel W tel que W est différent de l'ensemble vide et de V, avec pour tout g dans G, a(g)W=W.
Rien n'empêche qu'il existe un tel W pour tout h dans H sous-groupe de H.
Donc a|H n'est pas forcément irréductible.
Ou alors je n'ai pas compris le cours, c'est possible aussi.

Après, oui je n'utilise pas toutes les hypothèses, simplement parce que je ne vois pas comment les utiliser pour faire l'exercice, sinon il serait fait.

Les autres étudiants ne trouvent pas, nos enseignants ne sont pas très investis et le niveau n'est pas très élevé, du coup c'est pas évident de s'en sortir.

Le DM est à rendre demain, j'essaierai d'étudier votre idée, sinon je partirai sur la preuve de wikipédia, si jamais on reçoit un corrigé je vous l'enverrai, merci en tout cas !

Je sais pas comment modifier un message donc je reposte j'ai fait des petites fautes.

Effectivement, j'ai raisonné trop vite, a|H n'est pas nécessairement irréductible.
J'ai cherché un peu plus sur la toile, il y a beaucoup de liens sur les représentations linéaires des groupes finis, mais curieusement, je ne vois guère apparaître la propriété demandée.
Bon, il faut solliciter un peu les enseignants. Parfois (pas toujours ...) ils l'attendent. Il est vrai qu'ils sont souvent très orientés par l'aspect recherche de leur travail, moins par le côté pédagogique. Raison de plus pour le leur rappeler. Ils sont enseignants chercheurs, leur travail c'est 50-50. Ce sont en principe des gens curieux, ils sont susceptibles de se prendre au jeu si on les questionne. Dans l'enseignement français, il y a une certaine habitude de passivité: l'enseignant parle, les étudiants écoutent et ont peur de passer pour des "lèche bottes" s'ils dialoguent avec les enseignants. Dans les pays anglo saxons, au niveau universitaire, les étudiants hésitent beaucoup moins à poser des questions.
Tu es dans quelle université ?

Bah l'enseignant on le voit plus avant de rendre le dm, c'est un peu tard, tout le monde a recopié la preuve de wikipédia au final, c'est pas hyper intéressant, mais bon le prof s'en fiche un peu il part à la retraite à la fin de l'année.
On a seulement réussi à gratter la solution de l'exo précédent, je vois pas l'intérêt de faire des exercices quand on a pas les outils pour le faire, mais bon, on a beau se plaindre ils sont pas prêts de changer les enseignants en charge de la matière, donc on subit.
Université de Lorraine, à Nancy.

Il y a eu d'excellents enseignants à Nancy ...
Sinon il y a des bouquins: Représentations linéaires des groupes finis de Jean-Pierre Serre (une sommité) et Algèbre de Serge Lang (une somme tout court). Trop tard évidemment pour le DM ... D'ailleurs les références partent très vite sur la théorie des caractères, qui permettent d'aboutir à des résultats, et je n'ai pas trouvé non plus dans le livre de Lang de raisonnement élémentaire sur le résultat ici recherché.
C'est certes pénible de ne pas avoir d'interlocuteur valable au niveau de l'enseignant en question. Ils ne sont peut-être pas tous comme ça. Il faut essayer de transformer un mal en un bien en apprenant à compter sur ses propres ressources et celles qu'on trouve en ligne ou ailleurs.
Cordialement.

La majorité des enseignants sont bons, c'est seulement en algèbre qu'on a deux mauvais enseignants, en CM et en TD.
Merci pour les références, après on a pas forcément le temps de beaucoup bosser à côté des cours, c'est dur de compenser donc. Mais bon faudra bien que je me bouge si je veux l'agreg.
Merci pour tout en tout cas !

Au passage, apparemment la solution de wikipédia vient du bouquin de Serre.

A tout hasard, j'ai posé la question ici: