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demo d une propriété d existence de tangentes à un cercle

Posté par Céline77 (invité) 23-09-04 à 18:47

Bonjour à toutes et à tous,
Que ferai-je sans vous???
Il faut démontrer la, propriété suivante de 2 manières : une niveau lycée et une niveau collège:
Etant donné un point M dont la distance au centre d'un cercle donné est strictement supérieure au rayon de celui-ci, il existe 2 tangentes distinctes au cercle passant par M.
De plus si V et V' sont les points de contact de ces tangentes, MV = MV'
Merci d'avance

Posté par
siOk
re : demo d une propriété d existence de tangentes à un cercle 24-09-04 à 09:55

Bonjour Celine77,


Collège
OM > r donc le cercle de centre O et de rayon R et le cercle de diamètre [OM] sont sécants en deux points V et V'.
(est-ce qu'il faut le justifier ? cela est lié aux inégalités triangulaires)

Le triangle OMV est inscrit dans le cercle de diamètre [OM] donc il est rectangle
d'où  V est sur le cercle de centre O
      (OV) perpendiculaire à (OM) en V
d'où l'existence de la tangente.



MV = MV'
Théorème de Pythagore dans MOV et OMV'




Pour le niveau lycée
Je ne sais pas faire... des pistes cependant.

Soit deux droites quelconques passant par M et sécantes avec le cercle de centre O et rayon R.
La première coupe le cercle en A et B et la seconde en A' et B'.


niveau seconde
Les triangles MAB' et MAB sont semblables car
- ils ont un angle commun AMB'
- les angles MB'A et MBA' sont égaux car ils sont inscrits dans le cercle et interceptent le même angle

Donc les côtés sont dans le même rapport et ainsi
MA * MB = constante

En appliquant, le résultat à la droite passant par O.
MA * MB = OM² - R²

Quand A et B sont confondus en un point V  (ou un point V')
MV² = OM² - R²
Et en appliquant le théorème réciproque de Pythagore
le triangle OMV est rectangle en V.


Niveau première
On montre que vecteur(MA).vecteur(MB) = OM² - R²

Le problème revient à résoudre le système d'inconnue V
vecteur(OV).vecteur(OV') = 0
|| vecteur(OV) || = R

Bon, c'est plus loin...
Regarde autour de la notion de la puissance par rapport à un point.
Sur le forum, des élèves ont l'an dernier ont posté des problèmes tournan autour de cette notion.


P.S. Au CAPES interne, à l'oral, le jury a beaucoup insisté sur la réinterprétation des résultats de niveau collège dans les classes de lycée.
Et depuis 3/4 ans, il insiste aussi sur l'usage de l'outil informatique.

Renseignements oraux recueilli auprès d'un responsable d'une préparation donc ... non garantis.



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