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demo de suite vivement la s....

Posté par toon (invité) 11-09-05 à 07:54

Un definie par U0= 0 ; U1=1
et Un+2= 1/2 (Un +1+Un)

j'ai calculer U2 ..... U5 evidament

on pose Vn = Un+1 - Un
de meme calcule de V2... V5

la suite (sans jeu de mots se gatte)

* il faut démontrer que Vn est une suite géometrique et l'exprimer en fonction de n ?

* Sn= V1+V2.... Vn-1, il faut calculer Sn en fction de n et en deduire le terme general de Un (en fction de n) ?

* tout cela de montrer par recurence que Un = 2/3 (1-(-1/2)^n) et donc d'arriver à la limite de la suite U


merci, par avance

toon

Posté par Serphone (invité)re : demo de suite vivement la s.... 11-09-05 à 09:17

Bonjour,
_ Démontrer que v_n est géométrique, il faut calculer v_{n+1}

Soit:  v_{n+1} = u_{n+2}-u_{n+1} = \frac{u_{n+1}+u_n}{2}-u_{n+1}=\frac{-u_{n+1}+u_n}{2}=\frac{-1}{2}v_n

Or v_{n+1}=q \times v_n et v_n = v_0 \times q^n
On a v_0=1  Alors v_n=(\frac{-1}{2})^n

_Ensuite il faut calculer la suite Sn de deux façons:
On a d'abord: S_n=v_1+v_2+...+v_{n-1}=(u_2-u_1)+(u_3-u_2)+...+(u_n-u_{n-1})=u_n-1

Ensuite: S_n=v_1+v_2+...+v_{n-1}=(\frac{-1}{2})^1+(\frac{-1}{2})^2+...+(\frac{-1}{2})^{n-1}=1+(\frac{-1}{2})^1+(\frac{-1}{2})^2+...+(\frac{-1}{2})^{n-1}-1=\frac{1-(\frac{-1}{2})^n}{1-\frac{-1}{2}}-1=\frac{2}{3} \times (1-(\frac{-1}{2})^n)-1

_On en déduit donc u_n=\frac{2}{3} \times (1-(\frac{-1}{2})^n)

Voila j'espère ne pas avoir fait d'erreurs

On a \lim_{n\to +\infty} (\frac{-1}{2})^n=0 donc \lim_{n\to +\infty} u_n=\frac{2}{3}

Posté par toon (invité)merci 11-09-05 à 10:06

bjr,
Serphone, je vous remercie car je n'ai pu aidé ma petite belle soeur qui est en term, la honte vis à vis de ma belle mère moi qui suis en bac+5, bref, deplus j'ai regardé quelques topics lycéen pour dire que les bases vous suiverons, donc essayer de retenir les fondamentaux, merci encore et que les maths soient avec vous !


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