Bonjour.
La première idée est d'utiliser le théorème : AB et BA ont même polynôme caractéristique. Mais je présume que tu préfèrerais une preuve directe. Je vais chercher.
Cordialement RR.

Correction : je n'avais pas vu que A et B n'étaient pas carrées. Ce que j'ai affirmé ne tient pas sous cette forme.

Voila enfin :
Soit a une valeur propre non nulle de AB : il existe un vecteur non nul X tel que ABX = aX.
En multipliant les deux membres par B (qui est non nulle puisque a non nul) on obtient :
BABX = aBX. Par associativité, BA(BX) = a(BX). comme BX est non nul, BX est vecteur propre de BA et a est valeur propre asociée.
Cordialement RR.

merci pour cette réponse. Si ça ne vous dérange pas de m'aider encore un peu voici une question suivante qui me pose pb. il faut montrer que les valeurs propres de A*A et AA* sont des réels positifs ou nuls, j'ai réussi à montrer que c'était des réels mais je bloque pour le signe...

Je pense que A* signifie transposée de A.
(A*A)* = A*A, donc A est symétrique réelle : ses valeurs propres sont réelles.
Considérons la forme quadratique associée à A*A : q(X) = X*A*AX = (AX)*AX = ||AX||² (au sens de la norme euclidienne sur . Donc, q est une forme quadratique positive. Ceci signifie que A*A a ses valeurs propres positives ou nulles.
Même démarche pour AA*.
Cordialement RR.

A*A et AA* ne sont elle pas des matrices positives ??

en fait A* est la transconjuguée de A

pourquoi  BX  est non nul dans la preuve précédente ? (sinon l'histoire des polynômes est correcte  ...à un coeff correcteur près qui donne le résultat)

lolo

Bonsoir.
Pour lolo 217 : si BX était nul, on aurait ABX = O, soit aX = O, or, on suppose que a est une valeur propre non nulle, donc BX non nul : c'est bien un vecteur propre.
Pour sophie : si l'on parle de transconjuguée, alors, il faut dire que A*A est hermitienne, mais, si mes souvenirs sont exacts, cela ne change rien à la suite de la preuve.
Cordialement à tous les deux RR.