Inscription / Connexion Nouveau Sujet
démo sur la somme directe
Bonsoir tout le monde,
Je bute sur une partie d'une démo.
Fi et F2 sont en somme directe si et seulement si tout élément de F1 + F2 s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de F1 avec un élément de F2
Pour le sens 
, je n'ai pas de problème.
Par contre je bute sur la réciproque. Je vous livre la démo de mon prof.
Soit x 
F1
F2
x + (-x) = 0 , or x F1 et (-x)F2
(-x)F2
Je ne comprends pas ce qui permet de dire que (-x)F2.
F2 est un espace vectoriel donc si x appartient à F2 alors -x appartient à F2
Puis comme x + (-x) = 0
et 0 + 0 = 0
et comme on a supposé que tout élément de F1 + F2 s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de F1 avec un élément de F2, par identification, x=0
Hum mais quand même. Imaginons qu'on travaille dans IR^2. On a supposé que tout élément de F1 + F2 s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de F1 avec un élément de F2.
Pourquoi est-ce qu'on ne peut pas écrire
(-1,0) + (1,0)= 0
"Pourquoi est-ce qu'on ne peut pas écrire
(-1,0) + (1,0)= 0 "
Pourquoi on ne pourrait pas ?
Si ton zéro est le zéro de , il n'y a pas de problème.
C'est la démonstration sur les sommes directes.
"F1 et F2 sont en somme directe si et seulement si tout élément de F1 + F2 s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de F1 avec un élément de F2"
Je bloque sur la réciproque.
Je pensais que tu avais un autre énoncé en particulier dans ...
Euh, je n'ai pas compris non plus la démo de ton prof 
.
Je réfléchis...
Bonsoir,
Comem je suis de retour... je m'incruste.
on peut ecrire (1,0) + (-1,0) = 0 (vecteur nul, m'embetez pas, il est tard).
Seulement.... (1,0) et (-1,0) appartiennent au meme sev (quel qu'il soit). Donc si (1,0) est cense appartenir a F1, et (-1,0) a F2, eh bien F1 inter F2 n'est pas reduit au vecteur nul. Donc les sev ne seraient pas en somme directe.
Ce qui est important dans la demonstration, c'est l'unicite de la decomposition d'un vecteur en somme de vecteur de F1 et de F2.
Avec ton exemple, letonio, il n'y aurait pas unicite, en fait: (1,0) + (-1,0) = (0,0) + (0,0) = (0,0)
Plus clair???
biondo
C'est donc l'unicite de la decomposition qui fait que x = 0!
en effet on a bien x+ (-x) = 0.
et 0 + 0 = 0
avec le premier 0 dans F1, et le deuxieme dans F2. Puisque c'est unique, x = 0.
LA je pense que c'est mieux. il est pas terrible mon post d'avant.
b.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac