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Démonstr. : propriétés du triangle rectangle/cercle circonscrit
Bonjour,
Je dois démontrer les propriétés du triangle rectangle vis à vis de son cercle circonscrit, à savoir :
-Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
-Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse.
-Si le centre du cercle circonscrit du triangle est situé au milieu d'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.
-Si dans un triangle, la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle et le côté opposé correspond à l'hypoténuse.
Toutes ces propriétés, vous l'aurez remarqué, sont très similaires, et je dois résoudre des exercices pour les démontrer.
Exercice 1
Pour cet exercice, vous n'avez pas le droit d'utiliser les proposition
du cours de ce chapitre (mais vous aurez besoin des propositions des
chapitres précédents). (Note : les chapitres précédents : Thalès, Pythagore, triangles et propriétés, droites, cercles et tangentes).
Dans la figure ci-contre (que je mettrai en pièce attachée), A,B et C sont trois points du cercle C de
centre O.
a) On note a = angle ACO , b = angle BC0 et c = angle AÔB.
En vous aidant des sommes des angles de triangles isocèles, trouvez la valeur deaÅb en fonction dec (sans utiliser la notion d'angle
au centre, puisque c'est justement ce qu'il faut démontrer).
b) À partir de la question précédente, démontrez que si le côté
d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.
Je mettrai la figure en question en pièce attachée.
J'ai exploré une piste pour la question a) :
Cercle C est un cercle de centre O. Les points A ; B et C appartiennent au cercle C.
Donc AO=OC=OB.
Donc AOC ; OBC ; AOB triangles isocèles en O.
Donc angle OAC = angle OCA ; angle OCB = angle OBC.
C'est tout ce que j'ai réussi à produire...
Je n'ai pas réussi non plus à répondre à la question b) puisqu'il faut pour cela trouver auparavant la réponse à la a).
J'ai deux autres exercices qui sont issus du même DM, je ne sais pas si j'ai le droit de les poster sur le même topic, mais dans le doute je vais en faire deux autres séparés.
Merci d'avance !
Bonsoir,
Tout d'abord, merci de m'avoir répondu. Effectivement, il y a une erreur, j'en suis désolé. La question est : trouver la valeur de a + b en fonction de c.
Pour répondre, je te conseille de considérer :
--- la somme des angles du triangle AOC;
--- la somme des angles du triangle BOC;
--- et la somme des angles qui ont le point O comme sommet commun.
Bonjour,
Merci encore de m'avoir répondu. 
La somme des angles d'un triangle est de 180°. Donc la somme des angles de AOC et de BOC est 360°.
La somme des angles qui ont O comme sommet commun, c'est-à-dire AÔB + AÔC + BÔC = 360°.
J'ai dû louper quelque chose mais je n'arrive toujours pas à trouver de lien avec la question. :s
Ecris en détail l'égalité relative à la somme des trois angles du triangle AOC et fais de même pour les angles du triangle BOC.
Bonjour,
On considère le triangle AOC. On a démontré qu'il est isocèle en O (puisque O est le centre du cercle C et que A et C appartiennent au cercle C).
Donc angle OÂC = angle OCA.
De même, dans le triangle BCO, angle OBC = angle OCB.
AOC est un triangle, donc la somme de ses angles est 360°. Il en va de même pour le triangle BOC.
C'est tout ce que j'arrive à trouver sur les angles ! Peut-être que je n'ai pas remarqué quelque chose...
C'est juste.
J'écris l'égalité pour le triangle AOC :
AÔC + ÔCA + CÂO = 
Or ÔCA = CÂO = a
Donc AÔC = - 2a .
Fais de même pour le triangle BOC.
Puis écris l'égalité relative aux angles de sommet O , et combine tout cela.
Bonjour,
Merci encore de m'avoir répondu, je ne comprends pas cependant pourquoi : angles AÔC + OCA + CÂO = .
Pour le triangle BOC en suivant ton exemple :
angles OCB + CBO + BÔC = 180°
Or angles OCB = OBC = b
Donc CÔB = 180° - 2b
Egalité relative aux angles de sommet O :
angles AÔB + BÔC + AÔC = 360°
180°-2a + 180°-2b + AÔB = 360°
Et là, je me retrouve à nouveau bloqué. :s
Première phrase : n'est-ce pas là les trois angles du triangle AOC ? ( radians = 180°).
Dernière phrase : pas bloqué, car cette égalité se simplifie facilement. Ensuite, tu remplaces AÔB par c .
Bonsoir,
Je comprends mieux pour la première phrase, j'avais oublié la notion de radians.
Pour l'égalité :
AÔB + BÔC + AÔC = 360°
180° -2c + 180° - 2b + 180° 2a = 360°
540° - ( 2c + 2b + 2a ) = 360°
540° - 2 (c+b+a) = 360°
540° - 540° - 2 (c+b+a) = 360° - 540°
-2 (c+b+a) = -180°
[-2 (c+b+a)]/-2 = -180°/-2
c+b+a = 90°
J'espère que c'est ce que je ne me suis pas trompé.
Heu . . .
AÔB + BÔC + AÔC = 360°
AÔB = c
BÔC = 180° - 2b
AÔC = 180) - 2a .
Substitue ces expressions dans l'égalité de la première ligne. Que trouves-tu ?
Bonsoir,
J'avais compris que AÔB = 180 - 2c, d'où mon erreur.
AOB + BOC + AOC = 360°
c + 180° - 2b + 180° - 2a = 360°
c + 360° - 2a - 2b = 360°
c + 360° - 2 (a-b) = 360°
[c + 360° - 2 (a-b)]/-2 = 360° /-2
[c + 360° - 2 (a-b)]/-2 = -180°
c/-2 + 360°/-2 + a-b = -180°
c/-2 - 180° + a-b = -180°
et là, je ne vois pas trop comment je pourrais simplifier plus l'expression. :/
C'est à la 3ème ligne de ton calcul que tu peux simplifier. Ne vois-tu pas qu'il y a 360° à droite et à gauche du signe " = " ?
Retranche donc 360° de chaque membre de l'égalité, et tu l'as, la relation entre a, b et c.
Bonjour,
c + 180° - 2b + 180° - 2a = 360°
c + 360° - 2a - 2b = 360°
c + 360° - 2 (a-b) = 360°
c - 2 (a-b) = 0°
-2 (a-b) = c
-2a - 2b = c
Merci beaucoup pour la question a) !
Cependant, je ne comprends pas bien la b) :
b) À partir de la question précédente, démontrez que si le côté
d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.
Il s'agit là de démontrer la propriété : "Si le côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.".
Nous devons déjà trouver le côté du triangle en question, nous avons trois possibilités :
-le symétrique de A par rapport à O qu'on appelle A'
-le symétrique de B par rapport à O qu'on appelle B'
-le symétrique de C par rapport à O qu'on appelle C'
Prenons par exemple [AA']. Ce segment est bien le diamètre du cercle puisque A et A' sont deux points du cercle (C) et O (le centre de (C)) € [AA'].
La question précise : "A partir de la question précédente". Nous devons donc considérer l'expression :
-2 (a-b) = c
ou sa forme développée
-2a - 2b = c
Et je n'arrive pas trop à combiner toutes ces informations pour prouver la propriété. Est-ce que qu'un aurait un mixer magique qui pourrait m'aider ? 
a) Ton résultat est erroné; cela vient du passage de la 3ème à la quatrième ligne où - 2a - 2b doit être remplacé par - 2(a + b) .
Le résultat correct est donc c = 2(a + b) .
C'est là une démonstration du théorème : Si un angle ACB (a + b) inscrit dans un cercle et un angle au centre AOB (c) interceptent le même arc de cercle AB, l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit.
b) Regarde ce qui se passe quand c = 180°.
Bonjour,
D'accord, merci pour la question a), je n'avais pas remarqué l'erreur et ne connaissais pas la propriété que tu as citée.
Si c = 180°
c = 2(a+b)
180° = 2 (a+b)
90° = a+b
Donc l'angle ACB est droit.
Donc ACB est un triangle rectangle en C.
Merci mille fois de ta précieuse aide, je n'aurais jamais pu terminer l'exercice sans toi.
Bonjour,
J'écris simplement ce message parce que j'ai deux doutes :
-le premier : si j'ai bien compris dans la question a), on a
AOB + BOC + AOC = 360°
c + 180° - 2 b + 180° - 2 a = 360°
c + 360° - 2 a - 2 b = 360°
c - 2 (a+b) = 0°
-2 (a+b) = -c
Maintenant, je veux un résultat positif. Donc je multiplie par -1 des deux côtés de l'égalité.
-1 multiplié par (-2) (a+b) = -c multiplié par (-1)
Là, j'ai un doute. Mon professeur m'a dit que lorsque, dans un cas de distributivité, je change le signe du multiplicateur commun, je dois aussi changer le signe dans la parenthèse. Concrètement, ça donnerait ça :
-1 multiplié par (-2) (a+b) = -c multiplié par (-1)
2 (a-b) = c
au lieu de 2 (a+b) = c (le résultat que tu m'as fourni). D'autant plus que la propriété que tu cites : "Si un angle ACB (a + b) inscrit dans un cercle et un angle au centre AOB (c) interceptent le même arc de cercle AB, l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit." utilise "(a+b)" et non "(a-b)".
-deuxième doute : dans l'énoncé, il est écrit : "(sans utiliser la notion d'angle au centre, puisque c'est justement ce qu'il faut démontrer).". Il me semble que la propriété que tu utilises fait intervenir la notion d'angle au centre. :s
Merci d'avance.
(- 2)(a + b) : Si tu changes le signe du multiplicateur commun et celui des termes entre parenthèses, tu ne changes rien : (- 1)(- 2)(- a - b) = (- 2)[(- 1)(- a - b)] = - 2(a + b).
Mais ici, on veut changer le signe de chacun des deux membres de l'égalité (pour que celle-ci soit toujours vérifiée). On change donc le signe du premier membre; celui-ci étant un produit de deux facteurs, il faut changer le signe d'un seul de ces deux facteurs, en changeant - 2 en 2 (et dans l'autre membre - c en c , et il y a toujours égalité).
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