Bonsoir,

Si on a lim u_n =l et f continue alors
lim f(u_n)= f(lim u_n) = f(l)
D'autre part, lim u_(n+1)=l.
Or U_(n+1) = f(u_n) donc lim u_(n+1)= lim f(u_n)
ce qui montre que f(l)=l.

Bonne soiree

Merci je pense que ça doit etre ça!
Sinon j'ai une deuxième problème:
Soit la suite U définie par son 1er terme U(0) et la relation pour tout n entier naturel U(n+1)= exp(Un)
ET en raisonnant par l'absurde je dois montrer que la suite U ne converge pas.
Je sais qu'il faut montrer que c'est impossible qu'elle converge,mais je sais pas comment le prouver!
merci d'avance!

Bonjour,

Selon moi tu devrais utiliser la propriété que tu viens de prouver...

Mais bon je n'en suis pas sûr...

A plus

oui peut etre mais là U ne converge pas!
c'est peut etre car lim (x->+OO)exp(Un)= +OO,donc U(n+1) converge ,non??
Mais je sais pas trop comment faire le raisonnement par l'absurde et aboutir à la solution!
On peut m'aider merci!

Je pense que tu devrais faire,

Si Un converge vers le réel l alors f(l)=l. (si la fonction exponnentiel est continu sur R bien sûr).

Et tu prouves que

Enfin je dis ca mais je ne suis qu'en première S

A plus

Bonjour


L'idée de Clem-Clem me paraît être très bonne.

Pour montrer que   lexp(l)
tu peux étudier la fonction  x :-> x - exp(x)  et montrer qu'elle ne s'annule pas.

je sais pas trop comment faire,je vois pas trop ce que vous voulez dire!
Il faut commencer par supposer que Un converge et dire que exp(Un) est continue.
Mais je sais pas comment faire pour la suite!
Aidez-moi s'il vous plait!

Bonjour,

Tu dis :

Imaginons que Un converge.
Or exp(Un) est continue.

Si la suite U converge vers le réel l et si la fonction est continue en l,alors f(l)=l.

Absurde car

Donc ca veut dire que la proposition que tu as faite au début était fausse.
Donc Un ne converge pas.

A plus

Je ne suis quand première S

Supposons que  (Un) converge vers une limite l

   Comme la fonction exponetielle est continue,
   on aurait trouvé un réel l tel que:   l = exp(l)

   et il n'existe pas de réel tel que:  x - exp(x) soit nul
  donc il n'existe pas de réel tel que: x = exp(x)

  il y a contradiction.

L'hypothèse est fausse
donc la suite ne converge pas.

ok après grande reflexion je pense avoir enfin compris!
merci!

De rien C-line.

A plus

Par contre j'aimerai bien vous redemander:

Voila j'aimerai bien trouver comment on peut démontrer ce théorème :
Soit f une fonction et U la suite définie par son premier terme et la relation U(n+1)=f(Un)
Si la suite U converge vers le réel l et si la fonction est continue en l,alors f(l)=l.

En fait on m'a proposé:
Si on a lim u_n =l et f continue alors
lim f(u_n)= f(lim u_n) = f(l)
D'autre part, lim u_(n+1)=l.
Or U_(n+1) = f(u_n) donc lim u_(n+1)= lim f(u_n)
ce qui montre que f(l)=l.

En fait j'ai essayé de refléchir a ça, mais je vois pas pourquoi on dit :

D'autre part, lim u_(n+1)=l.
Or U_(n+1) = f(u_n) donc lim u_(n+1)= lim f(u_n)
ce qui montre que f(l)=l.

Voila ma démonstration,j'aimerai qu'on me dise si elle est bonne :

U est une suite qui converge vers le réel l et f continue en l,
d' ou lim Un = l
Alors lim f(Un) = f(lim Un) = f(l)
De plus lim U(n+1) = l car U est une suite qui converge vers le réel l
Or U(n+1) = f(Un) d' ou lim f(Un) = l
donc f(l)= l

Est-ce que c'est bon??
Sinon pour les limites on n'a pas besoin de présicer vers quoi ça tend?? je sais pas faut-il mettre + l'infini???
Merci d'avance!!

Bonjour.
En ce qui concerne ta démonstration, elle est correcte.
Pour ce qui concerne de montrer que e^xx, tu peux procéder selon deux méthodes.
La première est une méthode graphique : sur un même dessin, représenter la fonction y=e^x et y=x.  On constate que ces deux fonctions ne se coupent jamais et qu'en fait e^x>x,.
La deuxième consiste à faire l'étude des variations de y=e^x et de regarder la fonction dérivée (qui est elle-même).  Or, si x<0, alors x<e^x car l'exponentielle est toujours positive. En x=0, on a e⁰=1>0. Et si x>0, f'(x)=e^x>1, donc les coefficients directeurs des tangentes sont toujours supérieurs à 1, ce dernier étant le coefficient directeur de y=x et donc e^x>x si x>0.

Il faut prendre soin de préciser, lorsque l'on fait l'étude des variations de y=e^x, que cette fonction est strictement croissante et que sa concavité est tournée vers le haut

mais pour ma démonstration est-ce qu'il faut dire lim en + l'infini, je sais pas trop?
et merci pour l'explication sur la fonction exp!

Salut C-line

Je prend le topic en route, donc je n'ai lu que ton dernier message

Pour ce qui est des limites, il faut bien entendu préciser que tout se passe lorsque n tend vers
(il est vrai qu'ici, comme il s'agit de suites, on sait qu'on se place en ,
et comme il n'y a qu'une seule inconnue (n), on sait que c'est n qui tend vers ...
mais s'il y avait des ' p ' ou des 'k'  on ne saurait pas qui doit tendre vers quoi...
Bref, on, le précise toujours !)


Sinon, ta démonstration est correcte. Je l'ai ré-organisée, de façon à donner les hypothèses au moment précis où on les utilise, et pas simplement en vrac au début
Et surtout, tu oublies de donner un argument primordial pour conclure : tu utilises l'unicité de la limite : celle de !

Voici ce que ça donne :
--------------------------
est une suite qui converge vers le réel l. D' ou

Or  f est continue en l ;  donc

Or et

D'où

De plus car est une suite qui converge vers le réel l

Donc, par unicité de la limite de lorsque n tend vers ,
--------------

@+
Emma

deux heures plus tard ...