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démonstration avec les matrices

Posté par
mathsbv1 23-12-21 à 14:43

Bonjour, je bloque totalement sur une démonstration a faire
voici mon exercice:
soit A = \begin{bmatrix} a+b & 0 & b\\ b &a &b \\ b & 0 &a+b \end{bmatrix}   et J= \begin{bmatrix} 1 & 0& 1\\ 1&0&1\\ 1& 0 &1 \end{bmatrix}

la question est de démontrer que A^n=a^n I+\frac{(a+2b)^n-a^n}{2}J
J'ai déjà vérifié pour A2 et A3 et ça marche
Mais je n'arrive pas a savoir s'il faut démontrer par récurrence ou pas
Merci d'avance pour ceux qui prendront le temps de m'aider

Posté par
Camélia Correcteurre : démonstration avec les matrices 23-12-21 à 14:54

Bonjour

Une récurrence est tout à fait adaptée.

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 23-12-21 à 15:01

D'accord et alors dans ce cas la je met la formule An=... comme hypothèse de récurrence et je regarde si c'est égla à la matrce

Posté par
Camélia Correcteurre : démonstration avec les matrices 23-12-21 à 15:05

L'hypothèse de récurrence est
A^n=la formule,
puis tu démontres que A^{n+1} vaut bien ce qu'elle doit valoir si on remplace n par n+1 dans la formule.

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 10:17

Bonjour, suite a cela j'ai donc essayer de faire cette récurrence mais j'ai un probleme, je bloque sur la simplification de la formule que j'obtiens
An+1= An*A
on connait An = a^nI+\frac{(a+2b)^n-a^n}{2}J \\
j'ai déduis dans les questions précedentes que A=(aI +bJ)
donc An+1 = (a^nI+\frac{(a+2b)^2-a^n}{2}J)*(aI +bJ)
Voila je ne sais pas si c'est le mieux mais j'ai ensuite tout développé et c'est la que je bloque:
Je trouve An+1 = (a^nI*aI)+(a^nI*bJ)+(\frac{(a+2b)^n-a^n}{2}J*aI)+(\frac{(a+2b)^n-a^n}{2}J*bJ)
Merci aux personnes qui vont prendre le temps de m'aider

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 11:38

Bonjour,

   a^nI*aI=a^{n+1}I

  a^nI*bJ=a^nbJ

  J*aI=aJ

  J*bJ=bJ^2

Il faut calculer J^2

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 17:20

j'ai suivi vos conseils mais cela ne me permet pas d'avancer tant que cela
Car a aucun moment je n'arrive à trouver n+1 en puissances dans la fraction
Si quelqu'un peut me débloquer ce serait vraiment sympa, Merci

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 17:25

Au préalable, une question :

Que vaut J^2 en fonction de J ?

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 17:29

J=\begin{bmatrix} 1 &0 & 1\\ 1&0 & 1\\ 1& 0&1 \end{bmatrix}
J2=\begin{bmatrix} 2 & 0&2 \\ 2& 0& 2\\ 2&0 & 2 \end{bmatrix}
on peut donc dire que J2=2*J

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 17:48

Tout à fait.

Je reprends ceci:

  

Citation :
An+1 = (a^nI*aI)+(a^nI*bJ)+(\frac{(a+2b)^n-a^n}{2}J*aI)+(\frac{(a+2b)^n-a^n}{2}J*bJ)


qu'on peut donc écrire :

  A^{n+1}=a^{n+1}I+a^nb\,J+\dfrac{a[(a+2b)^n-a^n]}{2}\,J+b[(a+2b)^n-a^n]\,J

A^{n+1}=a^{n+1}I+\left[a^nb+\dfrac{a[(a+2b)^n-a^n]}{2}+b[(a+2b)^n-a^n]\right]\,J

Tu réduis le grand crochet au même dénominateur et tu devrais arriver à tes fins.
  

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 17:53

Merci pour votre aide
j'en suis effectivement arrivé la en utilisant la déduction précédente
bonne soirée et bonne fête de fin d'année

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 18:11

Bonne soirée à toi et bonnes fêtes mathsbv1

Un petit commentaire tout de même.

La voie indiquée par Camélia, la récurrence, était tout à fait indiquée ici.
Il y en avait une autre :

Si tu connais la formule du binôme de Newton :

   (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k, il se trouve que les matrices I et J commutant, elle est applicable ici :

A^n=(aI+bJ)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.J^k

Il est facile de prouver que tout k\geq 1,  J^k=2^{k-1}\,J (mais pas pour k=0)

qui permet d'arriver directement au résultat en ayant soin d'isoler k=0 dans la somme

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 27-12-21 à 18:40

Au cas où tu repasses par ici, deux questions :

  1) Connais-tu la formule du binôme de Newton ?
  2) Es-tu intéressé par une démonstration "directe" (sans récurrence).

Si oui aux deux, je pourrai détailler.

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 28-12-21 à 10:05

Bonjour lake et merci pour ta réponse
1) Oui bien sur je connais la formule de binome de Newton et 2) bien sur j'aimerais aussi avoir la démonstration si cela peut me faire gagner du temps.
Merci d'avance

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 28-12-21 à 11:08

Bonjour,

  Je répète que Camélia avait parfaitement raison quand elle écrivait :

  

Citation :
Une récurrence est tout à fait adaptée.


Voici un petit calcul alternatif avec le binôme de Newton utilisable ici  avec les matrices I et J car elles commutent.

On peut montrer (minuscule récurrence avec J^2=2\,J) que pour tout k\geq 1,  J^k=2^{k-1}J
La formule est fausse pour k=0.

A^n=(aI+bJ)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,J^k=a^n\,I+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,J^k

A^n=a^n\,I+\left(\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k2^{k-1}\right)\,J=a^n\,I+\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\binom{n}{k}a^{n-k}(2b)^k}{2}\right)\,J

A^n=a^n\,I+\dfrac{\sum_{k=0}^n\left[\binom{n}{k}a^{n-k}(2b)^k\right]-a^n}{2}\,J

A^n=a^n\,I+\dfrac{(a+2b)^n-a^n}{2}\,J
    

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 28-12-21 à 11:22

Au fait :

  

Citation :
j'aimerais aussi avoir la démonstration si cela peut me faire gagner du temps.


Tu as appris la formule du binôme pour une utilisation avec les réels mais pas avec les matrices (où il y a d'ailleurs des restrictions pour l'utiliser).
Bref, il n'est pas du tout certain que ton professeur apprécie la dernière solution (que j'ai postée pour information).
La solution attendue est bel et bien la récurrence.

Posté par
mathsbv1re : démonstration avec les matrices 28-12-21 à 12:07

d'accord et merci pour l'info
Je vais utiliser la récurrence
merci bonne journée

Posté par
lakere : démonstration avec les matrices 28-12-21 à 16:38

Citation :
Je vais utiliser la récurrence


Sage décision.
De rien et bonne journée à toi mathsbv1


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