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Démonstration avec logarithme néperien
Bonjour,
Avant toute chose, je suis nouveau sur le forum, alors je m'excuse d'avance si fais des erreurs...
Alors voilà, je suis en terminale S et j'ai un exercice de maths avec des suites à faire avec l'énoncé suivant :
Soit (un) définie pour tout entier n>1 ou n=1 par :
Un=1/(n+1) +1/(n+2) + ... + 1/(n+n).
1) Calculer u1, u2 et u3.
-> Je trouve u1=1/2 ; u2=7/12 ; u3=37/60.
2) Démontrer que pour tout entier n>1 ou n=1, Un+1-Un=1/(2n+1) + 1/(2n+2).
-> Ici, je bloque. Tout d'abord j'ai essayé de faire un raisonnement par récurrence : je ne rencontre pas de problème pour l'initialisation mais je n'arrive pas à démontrer l'hérédité. Et je ne suis pas sûre qu'il faille forcément faire un raisonnement par récurrence...
3) Soit f la fonction définie sur ]0;10[ par f(x)=ln(x)-(x-1). En déduire, après avoir étudié les sens de variation de f, que ln(x)<x-1 ou ln(x)=x-1 pour tout x>0.
-> Pour cette question je pense avoir réussi : avec le tableau de variation je trouve que f(x) est croissante sur [0;1] puis décroissante sur [1;+infini[ et f(x) est toujours inférieur ou égal à 0 sur [0;+infini[.
Donc :
f(x)<*0
ln(x)-(x-1)<*0
ln(x)<*x-1.
*< ou =
4) En utilisant le changement de variable X=1/x dans l'inégalité précédente, montrer que, pour tout réel x>0 : 1-1/x<*ln(x)
*< ou =
-> Pour cette question, je ne suis pas tout à fait sûr de ma réponse... La voilà :
ln(X)<*X-1
-ln(X)>*-X+1
-ln(X)>*1-X
-ln(1/x)>*1-1/x
Soit ln(x)>*1-1/x.
5) En déduire que, pour tout entier k>1 ou k=1, 1/(k+1)<*ln[(k+1)/k]<*1/k.
-> Pour cette question je ne sais absolument pas comme m'y prendre, si quelqu'un pouvait me donner une piste ça m'aiderait beaucoup car la suite de l'exercice d'appuie sur cette question,
Pour résumer, di quelqu'un peut m'aider pour les questions 2 et 5 pour me débloquer pour la suite de l'exercice, et pour savoir si ma démarche est la bonne pour la question 4, ce serait hyper gentil.
Bonne journée et veuillez m'excuser pour la rédaction un petit peu laborieuse...
salut
nul besoin de raisonnement par récurrence !!
et le résultat donné ne me semble pas bon ... (à voir en répondant ci-dessus)
4/
je ne vois pas l'intérêt de multiplier par -1 ni le changement de variable
x > 0 => ln x < x - 1 <=> ln( 1/x) < 1/x - 1 <=> - ln x < 1/x - 1 <=> ln x > 1 - 1/x
5/ remarquer que ln [(k + 1)/k) = ln (k + 1) - ln k
et de 3/ et 4/ tu as 1 - 1/x < ln x < 1 - x
...
Bonjour, Bienvenu !
2) non pas besoin de récurrence, il suffit de calculer Un+1-Un
Quelle est l'expression de Un+1 ?
3) OK
4) je n'ai pas très bien compris ce que tu as fait ? si X=1/x ou x = 1/X et que tu remplaces dans ln(x) 
x-1 ça donne ln(1/X) 1/X-1 que je n'ai pas vu dans tes lignes
- ln X 1/X-1 ln X 
1-1/X il n'y a rien d'autre à faire
5) ln ((k+1)/k) = ln (k+1)-ln (k) utilise les deux inégalités que tu viens de démontrer pour encadrer ça
carpediem
Merci d'avoir pris le temps de m'aider.
Donc je trouve :
Un= 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n)
Un+1= 1/(n+1+1) + 1/(n+1+2) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
Mais le problème c'est qu'en faisant Un+1-Un, j'obtiens :
=1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
Et pourtant il n'y a pas de -1/(n+1) dans l'énoncé... Donc est-ce une erreur de calcul de ma part ou un problème dans l'énoncé de la question ?
Pour la question 4, comment passe-t-on de 1/x-1>ln(x) à 1-1/x<ln(x) ? Il y a une règle qui pour changer le signe d'une inégalité dans ce cas précis ?
Merci beaucoup
Bonjour, Bienvenu !
2) non pas besoin de récurrence, il suffit de calculer Un+1-Un
Quelle est l'expression de Un+1 ?
3) OK
4) je n'ai pas très bien compris ce que tu as fait ? si X=1/x ou x = 1/X et que tu remplaces dans ln(x)
x-1 ça donne ln(1/X) 1/X-1 que je n'ai pas vu dans tes lignes
- ln X 1/X-1 ln X 1-1/X il n'y a rien d'autre à faire
5) ln ((k+1)/k) = ln (k+1)-ln (k) utilise les deux inégalités que tu viens de démontrer pour encadrer ça
Bonjour, Bienvenu !
2) non pas besoin de récurrence, il suffit de calculer Un+1-Un
Quelle est l'expression de Un+1 ?
3) OK
4) je n'ai pas très bien compris ce que tu as fait ? si X=1/x ou x = 1/X et que tu remplaces dans ln(x)
x-1 ça donne ln(1/X) 1/X-1 que je n'ai pas vu dans tes lignes
- ln X 1/X-1 ln X 1-1/X il n'y a rien d'autre à faire
5) ln ((k+1)/k) = ln (k+1)-ln (k) utilise les deux inégalités que tu viens de démontrer pour encadrer ça
Bonjour, merci beaucoup pour votre réponse.
Pour la 2) ce que je ne comprends pas c'est que j'obtiens :
Un+1= 1/(n+1+1) + 1/(n+1+2) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
Et par conséquent Un+1-Un=1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
Ce qui ne correspond pas à l'énoncé, donc j'imagine que j'ai fait une erreur de clacul mais j'ai beau le refaire je trouve toujours le même résultat...
Pour la 4, je crois que j'avais mal compris ce qui est était demandé. Je cherchais à appliquer la propriété -ln(x)=ln(1/x). Excusez-moi j'ai corrigé mon erreur.
Pour la 5, je dois donc utiliser la propriété ln(x)-ln(y)=ln(x/y). Cependant, je ne vois pas comment passer de ln(x) à ln(x+1) si je dois me servirde l'égalité précédente, soit :
ln(x)>1-1/x
Donc ln(x+1)>?
non il y a évidemment une erreur d'énoncé !!!
Pour la 4, je crois que j'avais mal compris ce qui est était demandé. Je cherchais à appliquer la propriété -ln(x)=ln(1/x). Excusez-moi j'ai corrigé mon erreur.
ln(x)>1-1/x
Donc ln(x+1)>?
ln y > 1 - 1/y
ln (1+ x) > ... ?
Bonjour,
Ton énoncé de 2) est faux. Il manque -1/(n+1) .
Bonjour,
Je me suis dit la même chose parce que je trouve
Un+1= 1/(n+1+1) + 1/(n+1+2) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
Et par conséquent Un+1-Un=1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
Seulement j'ai verifié avarc mon prof de maths ce matin et il me confirme qu'il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé donc j'imagine que j'ai fait une erreur de calcul, mais je ne trouve pas où.
Non, l'énoncé tel que tu l'as transcrit est faux. Il y a -1/(n+1) dans le résultat du 2).
Quand on fait une coquille dans un texte, on peut ne pas la percevoir même quand elle crève les yeux. C'est peut-être le cas de ton prof.
Si besoin, montre lui ces égalités :
u1 = 1/2 u2 = 1/3 + 1/4 u3 = 1/4 + 1/5 + 1/6
u2 - u1 = 1/3 + 1/4 - 1/2 u3 - u2 = 1/5 + 1/6 - 1/3
salut
nul besoin de raisonnement par récurrence !!
et le résultat donné ne me semble pas bon ... (à voir en répondant ci-dessus)
carpediem
ln y > 1 - 1/y
ln (1+ x) > 1 - 1/(1+x)
Donc si j'ai bien compris :
1-1/(1+k)< ln(k+1)
Mais Comment passer de cette inégalité à :
1/(1+k)< ln(k+1)-ln(k)<1/k ?
Je suis désolée si la solution est évidente mais elle m'échappe...
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